Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a)

(X,{\mathcal {F}},\mu )

jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b)

f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }

(dla

n\in {\mathbb {N} }

) jest funkcją mierzalną,

(c) dla pewnej funkcji całkowalnej

g\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }

mamy, że

|f_{n}(x)|\leqslant g(x)

dla wszystkich

x\in X

i

n\in {\mathbb {N} },

(d) dla wszystkich

x\in X

istnieje granica

\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x);

niech funkcja

f\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }

będzie zdefiniowana przez

f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)

dla

x\in X.

Wówczas funkcja $f$ jest całkowalna oraz

\lim \limits _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\ d\mu =0

i

\int f\ d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x.$

Szkic dowodu

Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że $f$ jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna^[1]. oraz $|f(x)|\leqslant g(x)$ (dla wszystkich $x\in X$ ), a stąd $f$ jest całkowalna. Zauważmy, że $|f_{n}(x)-f(x)|\leqslant 2g(x)$ (dla każdego $x$ ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji $h_{n}=2g-|f_{n}-f|.$

Ponieważ $2g(x)=\lim \limits _{n\to \infty }h_{n}(x)=\liminf \limits _{n\to \infty }h_{n}(x),$ to otrzymujemy wówczas, że

{\begin{aligned}\int 2g\ d\mu &\leqslant \liminf \limits _{n\to \infty }\int h_{n}\ d\mu \\&=\liminf \limits _{n\to \infty }\int 2g-|f_{n}-f|\ d\mu \\&=\int 2g\ d\mu +\liminf \limits _{n\to \infty }\left(-\int |f_{n}-f|\ d\mu \right)\\&=\int 2g\ d\mu -\limsup \limits _{n\to \infty }\left(\int |f_{n}-f|\ d\mu \right).\end{aligned}}

Stąd już wnioskujemy, że $\limsup \limits _{n\to \infty }\left(\int |f_{n}-f|\ d\mu \right)=0,$ a zatem $\lim \limits _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\ d\mu =0.$ Ponieważ $\left|\int f_{n}-f\ d\mu \right|\leqslant \int |f_{n}-f|\ d\mu ,$ to możemy też wywnioskować, że $\int f\ d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Przykład

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek $(0,1)$ wyposażony w miarą Lebesgue’a $\lambda .$ Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb {N} }$ zdefiniujemy funkcję $f_{n}\colon (0,1)\longrightarrow {\mathbb {R} }$ przez

f_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}n&{\mbox{gdy}}\quad x\in \left(0,{\frac {1}{n}}\right]\\0&{\mbox{gdy}}\quad x\in \left({\frac {1}{n}},1\right)\end{matrix}}\right.

Wtedy $f_{n}(x)\to 0$ dla $x\in (0,1),$ natomiast $\int f_{n}\;d\lambda =n\lambda \left(\left(0,{\frac {1}{n}}\right)\right)=n{\frac {1}{n}}=1\not \to 0=\int 0\;d\lambda .$