Wzory Freneta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Krzywa przestrzenna, wektory T, N, B i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T, N

Wzory Fréneta, wzory Fréneta–Serreta – wzory wyrażające zależności między pewnymi wektorami zaczepionymi w punkcie krzywej w naturalnej parametryzacji w przestrzeni trójwymiarowej.

Oznaczenia:

Wzory Freneta w n wymiarach[edytuj]

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C.Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że r(s) jest gładką krzywą w Rn, sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze n pochodnych r jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa r(s) nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze n-1 (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach r′(s), r′′(s), ..., r(n)(s).

W szczególności, jednostkowy wektor styczny r'(s) jest pierwszym wektorem układu Freneta e1(s):

Wektor normalny, czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od linii prostej. Jest zdefiniowany jako

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta e2(s) i jest zdefiniowany jako

Wektor styczny i normalny w punkcie s definiują płaszczyznę styczną w punkcie r(s).

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

Funkcje o wartościach rzeczywistych χi(s) zdefiniowane jako:

są nazywane krzywiznami uogólnionymi.

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta–Serreta mają postać:

dla

W języku macierzy wyglądają tak:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: Biblioteka Matematyczna tom 69. ISBN 83-01-09940-2. str. 323