Wzory Freneta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Krzywa przestrzenna, wektory T, N, B i płaszczyzna prostująca rozpięta na wektorach T, N i o wektorze normalnym B

Wzory Fréneta, wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi tzw. trójścian Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.

Zapis wektorowy[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia[1]:

  • parametr naturalny krzywej (długość łuku),
  • – wektor wodzący punktu na krzywej,
  • wektor styczny,
  • wektor normalnej głównej,
  • wektor binormalny,
  • – wektor krzywizny,
  • – promień krzywizny,
  • krzywizna krzywej,
  • – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),
  • torsja krzywej (druga krzywizna),
  • wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.

Z punktem na krzywej przestrzennej można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory Drugi prawoskrętny układ wersorów jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory


(1.1)

gdzie

(1.2)

a trzeci jest definiowany[1] wzorem

(1.3)

W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.

Na podstawie wzoru (1.1) mamy

(1.4)

i różniczkując wzór (1.3), otrzymujemy

(1.5)

ponieważ i są kolinearne. Ponadto z (1.5) wynika, że a ponieważ również

więc

(1.6)

gdzie jest torsją krzywej w punkcie

Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru

(1.7)

Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi

x y z

Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej[1].

Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru (1.6) po uwzględnieniu (1.1) i (1.5)

(1.8)

Zapis parametryczny[edytuj | edytuj kod]

Dana jest krzywa przestrzenna opisana parametrycznie równaniami[2]

(1)

Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty odpowiadające dwom wartościom parametru Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem

(2)

Dzieląc mianowniki przez i przechodząc do granicy otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej w punkcie

(3)

gdzie przez oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie

Równanie o postaci (3) jest konsekwencją kolinearności wektorów

Równanie płaszczyzny normalnej (prostopadłej) do krzywej w punkcie można zapisać w postaci[2] iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie

(4)

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej w punkcie zapiszemy w postaci

(5)

Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne takiego wektora który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej

Rozważmy równanie takiej płaszczyzny na której leży styczna i która

  • przechodzi przez punkt a każdy jej wektor jest prostopadły do
(6)

oraz

  • każdy wektor leży na płaszczyźnie i dlatego jest prostopadły do
(7)

wektor jest prostopadły do wektora stycznego który leży na

(8)

Wykorzystując wzór Taylora zamiast (7), możemy napisać

(9)

gdzie

Po uwzględnieniu (8) i (9) otrzymujemy

(10)

Można teraz z (8) i (10) wyznaczyć niewiadome i na podstawie (6) otrzymuje się, po przejściu do granicy

(11)

Tak więc wektor prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne


(12)

Przez punkt krzywej przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta:

  • ściśle styczna – równanie (5) i (12),
  • normalna – równanie (4),
  • prostująca – prostopadła do dwu poprzednich
(13)

Wektor jest prostopadły do obydwu wektorów i i dlatego muszą być spełnione dwa równania

(14)
(15)

Rozwiązanie równań (13) i (15) ma postać wzorów

(16)

Krawędziami trójścianu Freneta są proste:

  • styczna – o równaniu (3),
  • normalna główna – prostopadła do płaszczyzny prostującej i określona równaniem
(17)
  • binormalna – prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej i określona równaniem
(18)

Zachodzą przy tym następujące tożsamości


lub
(19)

albo
(20)
  • Krzywizna i torsja krzywej

Płaszczyzna normalna do krzywej w jej punkcie opisana jest równaniem

(21)

gdzie jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie

Przecina ona normalną główną (17) w punkcie o współrzędnych

(22)

Po podstawieniu (22) do (21) i uwzględnieniu (15) otrzymujemy wartość parametru

(23)

określającą położenie punktu na kierunku normalnej głównej.

Po podzieleniu licznika i mianownika przez i po przejściu do granicy otrzymujemy

(24)

Gdy punkt dąży do punktu punkt dąży do punktu o współrzędnych

(25)

Po wykorzystaniu tożsamości (19) otrzymujemy

(26)

Punkt o współrzędnych (25) nazywany jest środkiem krzywizny krzywej w jej punkcie Odległość punktu od punktu jest tak zwanym promieniem krzywizny krzywej w jej punkcie Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów (25) po uwzględnieniu tożsamości (20)

(27)

Krzywiznę krzywej określa wzór

(28)

Krzywizna nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny nazywanej torsją krzywej. Torsja jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor

(29)

dzięki któremu torsję można zdefiniować wzorem

(30)

przy czym

(31)

dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a

(32)

Na podstawie (30) otrzymujemy

(33)

Wzory Freneta w [edytuj | edytuj kod]

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że opisuje gładką krzywą w sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze pochodnych jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach

W szczególności, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem układu Freneta

Wektor normalny czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta i jest zdefiniowany jako

Wektor styczny i normalny w punkcie definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

Funkcje o wartościach rzeczywistych zdefiniowane jako:

są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol oznacza iloczyn skalarny wektorów i

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:

dla

W języku macierzy wyglądają tak:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t. 2, Гос. Издат. технико-теоретичесҝой литературы, Мосҝва-Ленинград 1951.
  2. a b F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: Biblioteka Matematyczna tom 69. ISBN 83-01-09940-2.