Wzory Freneta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Krzywa przestrzenna, wektory T, N, B i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T, N

Wzory Fréneta, wzory Fréneta–Serreta – wzory wyrażające zależności między pewnymi wektorami zaczepionymi w punkcie krzywej w naturalnej parametryzacji w przestrzeni trójwymiarowej.

 \frac{d\bar{t}}{ds} = {\kappa} \bar{n}
 \frac{d\bar{n}}{ds} = -{\kappa} \bar{t} + {\tau}\bar{b}
 \frac{d\bar{b}}{ds} = -{\tau} \bar{n}

Oznaczenia:

Wzory Freneta w n wymiarach[edytuj]

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C.Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że r(s) jest gładką krzywą w Rn, sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze n pochodnych r jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa r(s) nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze n-1 (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach r′(s), r′′(s), ..., r(n)(s).

W szczególności, jednostkowy wektor styczny r'(s) jest pierwszym wektorem układu Freneta e1(s):

\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{r}'(s)

Wektor normalny, czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od linii prostej. Jest zdefiniowany jako

\overline{\mathbf{e}_2}(s) = \mathbf{r}''(s) - \langle \mathbf{r}''(s), \mathbf{e}_1(s) \rangle \, \mathbf{e}_1(s)

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta e2(s) i jest zdefiniowany jako

\mathbf{e}_2(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(s)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(s) \|}

Wektor styczny i normalny w punkcie s definiują płaszczyznę styczną w punkcie r(s).

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:


\mathbf{e}_{j}(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(s)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(s) \|} 
\mbox{, } 
\overline{\mathbf{e}_{j}}(s) = \mathbf{r}^{(j)}(s) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{r}^{(j)}(s), \mathbf{e}_i(s) \rangle \, \mathbf{e}_i(s).

Funkcje o wartościach rzeczywistych χi(s) zdefiniowane jako:

\chi_i(t) = \langle \mathbf{e}_i'(s),\ \mathbf{e}_{i+1}(s) \rangle

są nazywane krzywiznami uogólnionymi.

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta–Serreta mają postać:

e_j^'(s) = \chi_j(s)e_{j+1} - \chi_{j-1}(s)e_{j-1} dla j=1...n

W języku macierzy wyglądają tak:

 
\begin{bmatrix}
  \mathbf{e}_1'(s)\\
           \vdots \\
 \mathbf{e}_n'(s) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \chi_1(s) &                &             0 \\
 -\chi_1(s) &    \ddots &         \ddots &               \\
            &    \ddots &              0 & \chi_{n-1}(s) \\
          0 &           & -\chi_{n-1}(s) &             0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(s) \\
          \vdots \\
 \mathbf{e}_n(s) \\
\end{bmatrix}

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: Biblioteka Matematyczna tom 69. ISBN 83-01-09940-2. str. 323