Liczba Bella

Liczba Bella dla liczby naturalnej $n$ (oznaczenie: $B_{n}$) to liczba podziałów zbioru $\{1,\dots ,n\}.$

• $B_{0}=1,$ bo zbiór pusty $\{\}$ ma jedyny podział: $\{\}.$
• $B_{1}=1,$ bo zbiór $\{1\}$ ma jedyny podział: $\{\{1\}\}.$
• $B_{2}=2,$ bo zbiór $\{1,2\}$ ma dwa podziały: $\{\{1,2\}\}$ i $\{\{1\},\{2\}\}.$
• $B_{3}=5,$ bo zbiór $\{1,2,3\}$ ma $5$ podziałów:
  1. $\{\{1,2,3\}\}$
  2. $\{\{1\},\{2,3\}\}$
  3. $\{\{2\},\{1,3\}\}$
  4. $\{\{3\},\{1,2\}\}$
  5. $\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$
• $B_{4}=15,$ $B_{5}=52,\dots$

Liczby Bella spełniają następujący wzór rekurencyjny:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}},n\in \mathbb {N} .$

Oraz „wzór Dobińskiego”:

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.$