Ciało doskonałe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ciało doskonałe - w teorii ciał, dziale algebry, ciało k, które spełnia następujące równoważne warunki:

W szczególności doskonałymi są wszystkie ciała charakterystyki zero oraz ciała skończone.

Ogólniej, pierścień charakterystyki p (będącej liczbą pierwszą) nazywa się doskonałym, jeżeli endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami ciał doskonałych są: ciała charakterystyki zero, ciała skończone, ciała algebraicznie domknięte, suma mnogościowa ciał doskonałych, ciała algebraiczne nad ciałem doskonałym (w szczególności ciało niedoskonałe musi być przestępne nad swoim podciałem pierwszym, które jest doskonałe). Z drugiej strony, jeśli k jest dodatniej charakterystyki, to k(X), gdzie X jest nieoznaczone, nie jest doskonałe. Istotnie, większość ciał pojawiających się w praktyce nie jest doskonała. Ciała niedoskonałe pojawiają się głównie w geometrii algebraicznej.

Domknięcie doskonałe i udoskonalenie[edytuj | edytuj kod]

Pierwszy warunek mówi, dla charakterystyki p, iż ciało z dołączonymi wszystkimi pierwiastkami p-tego stopnia (zwykle oznaczane k^{p^{-\infty}}) jest doskonałe; nazywa się je domknięciem doskonałym (ang. perfect closure) i oznacza k_p. Równoważnie domknięcie doskonałe jest maksymalnym podrozszerzeniem czysto nierozdzielczym. Jeżeli E/k jest skończonym rozszerzeniem normalnym, to E \simeq k_p \otimes_k k_s[2].

Wyrażone w języku własności uniwersalnych domknięcie doskonałe pierścienia A o charakterystyce p wraz z homomorfizmem pierścieni \mu\colon A \to A_p takim, że dla każdego innego pierścienia doskonałego B chrakterystyki p z homomorfizmem \nu\colon A \to B istnieje jednoznacznie wyznaczony homomorfizm f\colon A_p \to B taki, że \nu faktoryzuje się poprzez \mu, tzn. \nu = f\mu. Dowodzi się, że domknięcie doskonałe zawsze istnieje[3].

Udoskonalenie (ang. perfection) pierścienia A charakterystyki p jest pojęciem dualnym do poprzedniego (choć termin ten oznacza niekiedy domknięcie doskonałe). Innymi słowy udoskonalenie \operatorname R(A) pierścienia A jest pierścieniem doskonałym charakterystyki p z odwzorowaniem \theta\colon \operatorname R(A) \to A takim, że dla dowolnego pierścienia doskonałego B charakterystyki p wyposażonego w odwzorowanie \varphi\colon B \to A istnieje jednoznacznie wyznaczone przekształcenie f\colon B \to \operatorname R(A) takie, że \varphi faktoryzuje się poprzez \theta, tzn. \varphi = \theta f. Udoskonalenie A można również skonstruować jak podano niżej. Niech dany będzie układ rzutowy

\dots \to A \to A \to A \to \dots,

w którym odwzorowania przejścia są endomorfizmami Frobieniusa. Granicą odwrotną tego układu jest \operatorname R(A), składa się ona z ciągów (x_0, x_1, \dots) elementów A takich, że x_{i+1}^p = x_i dla wszystkich i. Odwzorowanie \theta\colon \operatorname R(A) \to A przekształca (x_i) na x_0[4].

Przypisy

  1. Serre, 1979, rozdział II.4
  2. Cohn, tw. 11.4.10
  3. Bourbaki, 2003, rozdział V.5.1.4, s. 111
  4. Brinon, Conrad, 2009, rozdział 4.2

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]