Graf krawędziowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Graf i jego graf krawędziowy. Kolory pokazują przejście krawędzi w wierzchołki

Graf krawędziowy (ang. line graph) grafu G to taki graf F=L(G), którego zbiorem wierzchołków jest zbiór krawędzi grafu G: V(F) = E(G), natomiast zbiorem krawędzi E(F) jest zbiór par elementów zbioru E(G), przy czym:

W grafach nieskierowanych:

Wierzchołki {v1, v2}, {v3, v4} grafu F są połączone wtedy i tylko wtedy, gdy v1=v3 lub v1=v4 lub v2=v3 lub v2=v4.

W grafach skierowanych:

Od wierzchołka (v1, v2) do wierzchołka (v3, v4) grafu F prowadzi krawędź wtedy i tylko wtedy, gdy v2=v3.

Intuicyjnie można to rozumieć tak, że krawędzie grafu G traktujemy jako wierzchołki, tworząc graf F, a wierzchołki grafu F łączymy krawędziami wtedy, gdy "istnieje przejście" pomiędzy krawędziami grafu G odpowiadającym odpowiednim wierzchołkom grafu F.

Jeśli nie powiedziano inaczej, pojęcie grafu krawędziowego odnosi się tylko do grafów nieskierowanych.

Interesującym zagadnieniem jest pytanie, czy dany graf jest grafem krawędziowym jakiegoś grafu, oraz czy każdy graf jest grafem krawędziowym jakiegoś grafu.

Lowell W. Beineke w 1968 r. pokazał, że graf jest grafem krawędziowym jakiegoś grafu wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnego z dziewięciu wymienionych grafów:

9 indukowanych podgrafów nie zawartych w żadnym grafie krawędziowym