Grupa abelowa wolna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa abelowa wolnagrupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
  • Dla każdej liczby kardynalnej \kappa istnieje grupa abelowa wolna rangi \kappa.
  • Niech G będzie grupą abelową wolną oraz A grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm h\colon A\to G, to istnieje podgrupa F grupy A izomorficzna z grupą G taka, że A=F\oplus\ker h.
  • Każda grupa abelowa A jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa A ma zbiór generatorów mocy \kappa, to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi \kappa. Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
  • Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupa \mathbb Z liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory \{1\}, \{-1\}.
  • Suma prosta \mathbb Z \oplus \mathbb Z, na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z \mathbb Z.
  • Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór \{1, x, x^2, x^3,\ldots\}.
  • Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
  • Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy \mathbb Z nie jest abelową grupą wolną[1], jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest[2].

Przypisy

  1. Reinhold Baer. Dualism in abelian groups. „Bulletin of the American Mathematical Society”, s. 121-124, 1937. 
  2. Ernst Specker. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen. „Portugaliae Mathematica”, s. 131-140, 1950.