Polilogarytm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Polilogarytm jest to funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób:

\mathrm{Li}_\nu (z) = \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k^\nu}

Szereg ten jest zbieżny dla |z| < 1 i dowolnego zespolonego ν. Z tego względu z = 1 to punkt osobliwy dla każdego \mathrm{Li}_\nu (z).

Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny:

\mathrm{Li}_1 (z) = -\ln{(1-z)}
\mathrm{Li}_n (z) = \int\limits_0^z\frac{\mathrm{Li}_{n-1}(t)}{t}\,dt

dla n=2,3,4,....

Wykresy \mathrm{Li}_\nu (z) na płaszczyźnie zespolonej

\operatorname{Li}_{-3}(z)
\operatorname{Li}_{-2}(z)
\operatorname{Li}_{-1}(z)
\operatorname{Li}_{0}(z)
\operatorname{Li}_{1}(z)
\operatorname{Li}_{2}(z)
\operatorname{Li}_{3}(z)
Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Niektóre własności[edytuj | edytuj kod]

\mathrm{Li}_1 (z) = -\ln{(1-z)}
\mathrm{Li}_2 (z)+\mathrm{Li}_2 (1-z)=\frac{1}{6}\pi^2-\ln z\ln{(1-z)}
\mathrm{Li}_2 (x^2) = 2\left[\mathrm{Li}_2 (x)+\mathrm{Li}_2 (-x)\right]
\mathrm{Li}_2 (-1/x)+\mathrm{Li}_2 (-x)=-\frac{1}{6}\pi^2-\frac{1}{2}(\ln x)^2

Redukcja do funkcji ζ Riemanna:

\mathrm{Li}_\nu (1)=\zeta(\nu)

Redukcja do funkcji η Dirichleta:

\mathrm{Li}_\nu (-1)=-\eta(\nu)