Funkcja Gudermanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Wykres funkcji Gudermanna

Funkcja Gudermanna - funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem, wyraża się wzorem:

\text{gd }x\, =\int_0^x{dt\over\cosh t}
=2\,\text{arctg}\left(\text{tgh }\frac{x}{2}\right)
=2\,\text{arctg } e^x-{\pi\over2}

Najważniejsze własności[edytuj | edytuj kod]

Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.

Zauważmy, że:

\text{tgh }{x\over2}=\text{tg }{\text{gd }x\over2}

Prawdziwe są następujące tożsamości:

\begin{array}{lcl}
\sinh x &=&\text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\
\cosh x&=&\sec\left(\text{gd }x\right)\\
\text{tgh }x&=&\sin\left(\text{gd }x\right)\\
\text{sech }x&=&\cos\left(\text{gd }x\right)\\
\text{csch }x&=&\text{ctg}\left(\text{gd }x\right)\\
\text{ctgh }x&=&\csc\left(\text{gd }x\right)\end{array}

Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:

e^x =\frac{1}{\cos\left(\text{gd }x\right)}+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)=\sec\left(\text{gd }x\right)+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)
=\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\text{gd }x}{2}\right)
=\frac{1+\sin\left(\text{gd }x\right)}{\cos\left(\text{gd }x\right)}

Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

{d\over dx}\,\text{gd }x=\text{sech }x

Funkcja odwrotna[edytuj | edytuj kod]

Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją \text{arcgd }x lub \text{gd}^{-1}x) wyraża się wzorem:

\text{arcgd }x =\text{gd}^{-1}x=\int_0^x{dt\over\cos t}
=\text{arcosh}\left(\sec x\right)=\text{artgh}\left(\sin x\right)
=\ln\left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)
=\ln\left(\text{tg }x+\sec x\right)=\ln\left(\text{tg}\left({\pi\over4}+{x\over2}\right)\right)
={1\over2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)=\text{artgh}\left(\sin x\right)

Ponadto prawdziwe jest równanie:

i\text{ arcgd }x=\text{arcgd}\left(ix\right)

Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

{d\over dx}\,\text{arcgd }x=\sec x

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.