Funkcja Gudermanna

Wykres funkcji Gudermanna

Funkcja Gudermanna - funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem, wyraża się wzorem:

$\text{gd }x\,$	$=\int_0^x{dt\over\cosh t}$
	$=2\,\text{arctg}\left(\text{tgh }\frac{x}{2}\right)$
	$=2\,\text{arctg } e^x-{\pi\over2}$

Najważniejsze własności

Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.

Zauważmy, że:

$\text{tgh }{x\over2}=\text{tg }{\text{gd }x\over2}$

Prawdziwe są następujące tożsamości:

$\begin{array}{lcl} \sinh x &=&\text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\ \cosh x&=&\sec\left(\text{gd }x\right)\\ \text{tgh }x&=&\sin\left(\text{gd }x\right)\\ \text{sech }x&=&\cos\left(\text{gd }x\right)\\ \text{csch }x&=&\text{ctg}\left(\text{gd }x\right)\\ \text{ctgh }x&=&\csc\left(\text{gd }x\right)\end{array}$

Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:

$e^x$	$=\frac{1}{\cos\left(\text{gd }x\right)}+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)=\sec\left(\text{gd }x\right)+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)$
	$=\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\text{gd }x}{2}\right)$
	$=\frac{1+\sin\left(\text{gd }x\right)}{\cos\left(\text{gd }x\right)}$

Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

${d\over dx}\,\text{gd }x=\text{sech }x$

Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją $\text{arcgd }x$ lub $\text{gd}^{-1}x$) wyraża się wzorem:

$\text{arcgd }x$	$=\text{gd}^{-1}x=\int_0^x{dt\over\cos t}$
	$=\text{arcosh}\left(\sec x\right)=\text{artgh}\left(\sin x\right)$
	$=\ln\left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)$
	$=\ln\left(\text{tg }x+\sec x\right)=\ln\left(\text{tg}\left({\pi\over4}+{x\over2}\right)\right)$
	$={1\over2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)=\text{artgh}\left(\sin x\right)$

Ponadto prawdziwe jest równanie:

$i\text{ arcgd }x=\text{arcgd}\left(ix\right)$

Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

${d\over dx}\,\text{arcgd }x=\sec x$

Zobacz też

• funkcje specjalne
• funkcje cyklometryczne
• funkcje hiperboliczne

Bibliografia

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.