Harmoniki sferyczne

Z Wikipedii

Harmoniki sferyczne — funkcje będące rozwiązaniami równania różniczkowego:

$\left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{ \partial^{2} }{ \partial \phi ^{2}} + \lambda \right] Y(\theta, \phi ) = 0$

Powyższe równanie można otrzymać na przykład w wyniku rozdzielania zmiennych dla równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym. λ jest więc stałą separacji.

Bardzo żmudne obliczenia prowadzą do następującej reprezentacji harmonik:

$Y_{lm}(\theta, \phi) = (-1)^{m} \left[ \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}\right]^{1/2} P^{m}_{l}(\cos\theta)e^{im\phi}$

gdzie

l — liczba naturalna

m — liczba naturalna mniejsza od l

$P^{m}_{l}$ — stowarzyszone funkcje Legendre'a

Dla m ujemnych Y(θ,φ) definiujemy jako:

$Y_{l,-m}(\theta, \phi) = (-1)^{m} Y^{*}_{lm}(\theta, \phi)$

[edytuj] Własności harmonik sferycznych

$\int\limits_{\Omega} d\Omega\, Y_{lm}^{*}(\theta, \phi) Y_{l'm'} (\theta, \phi) = \int\limits_{0} ^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0} ^{\pi} d \theta \sin \theta Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) Y_{l'm'}(\theta, \phi) = \delta_{ll'}\delta_{mm'}$ — ortonormalność

[edytuj] Kilka pierwszych harmonik sferycznych

l	m	Y _lm(θ, φ)
0	0	$\frac{1}{\sqrt{4 \pi}}$
1	0	$\sqrt{ \frac{3}{4 \pi} }\cos \theta$
1	±1	$\mp \sqrt{ \frac{3}{8 \pi} }\sin \theta e^{\pm i\phi}$
2	0	$\sqrt{ \frac{5}{4 \pi} } \left( \frac{3}{2} \cos^{2} \theta - \frac{1}{2} \right)$
2	±1	$\mp \sqrt{ \frac{15}{8 \pi} } \cos \theta \sin \theta e^{\pm i\phi}$
2	±2	$\sqrt{ \frac{15}{32 \pi} }\sin ^{2} \theta e^{\pm 2i\phi}$
3	0	$\sqrt{ \frac{7}{4 \pi} } \left( \cos ^{3} \theta -\frac{3}{2} \cos \theta \sin^{2}\theta \right)$
3	±1	$\mp \sqrt{ \frac{21}{64 \pi} } \left( 4 \cos^{2} \theta \sin \theta - \sin^{3} \theta \right) e^{\pm i \phi}$
3	±2	$\sqrt{ \frac{105}{32 \pi} } \cos \theta \sin ^{2} \theta e^{\pm 2i \phi}$
3	±3	$\mp \sqrt{ \frac{35}{64 \pi} } \sin^{3} \theta e^{\pm 3i \phi}$

[edytuj] Interpretacja graficzna harmonik

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych θ oraz Φ w układzie sferycznym. Po powrocie do układu kartezjańskiego, czyli owinięciu płaszczyzny harmonik na sferze o promieniu r otrzymujemy reprezentację harmonik w układzie kartezjańskim. W fizyce harmoniki sferyczne obrazują orbitale elektronowe w atomie i wyglądają jak pokazane poniżej: