Harmoniki sferyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowe harmoniki sferyczne dla l = 0..3 oraz m = -l..l. Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Harmoniki sferycznefunkcje będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace'a zapisanego w symetrii sferycznej:


\left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{ \partial^{2} }{ \partial \phi ^{2}} + \lambda \right] Y(\theta, \phi ) = 0

Powyższe równanie można otrzymać na przykład w wyniku rozdzielania zmiennych dla równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym, gdzie λ jest stałą separacji.

Obliczenia prowadzą do następującej reprezentacji harmonik sferycznych:


Y_{lm}(\theta, \phi) = (-1)^{m} \left[
\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}\right]^{1/2}
P^{m}_{l}(\cos\theta)e^{im\phi}

gdzie

l — liczba naturalna: 0, 1, 2, ...

m — liczba naturalna mniejsza lub równa l

P^{m}_{l}stowarzyszone funkcje Legendre'a

Dla m ujemnych Y(θ,φ) definiujemy jako:


Y_{l,-m}(\theta, \phi) = (-1)^{m} Y^{*}_{lm}(\theta, \phi)

Wtedy dla dowolnej liczby l, dozwolonych jest 2*l+1 wartości liczby m: -l,-l+1,...,l.


Równanie to stosowane jest w mechanice kwantowej do wyznaczenia funkcji falowej równania Schrödingera, a zatem pośrednio gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie, po pierwotnym rozdzieleniu zmiennej radialnej od kątowych.

Własności harmonik sferycznych[edytuj | edytuj kod]

Kilka pierwszych harmonik sferycznych[edytuj | edytuj kod]

l m Y lm(θ, φ)
0 0 \frac{1}{\sqrt{4 \pi}}
1 0 \sqrt{ \frac{3}{4 \pi} }\cos \theta
1 ±1 \mp \sqrt{ \frac{3}{8 \pi} }\sin \theta e^{\pm i\phi}
2 0 \sqrt{ \frac{5}{4 \pi} } \left( \frac{3}{2} \cos^{2} \theta - \frac{1}{2} \right)
2 ±1 \mp \sqrt{ \frac{15}{8 \pi} } \cos \theta \sin \theta e^{\pm i\phi}
2 ±2 \sqrt{ \frac{15}{32 \pi} }\sin ^{2} \theta e^{\pm 2i\phi}
3 0 \sqrt{ \frac{7}{4 \pi} } \left( \cos ^{3} \theta -\frac{3}{2} \cos \theta \sin^{2}\theta \right)
3 ±1 \mp \sqrt{ \frac{21}{64 \pi} } \left( 4 \cos^{2} \theta \sin \theta - \sin^{3} \theta \right) e^{\pm i \phi}
3 ±2  \sqrt{ \frac{105}{32 \pi} } \cos \theta \sin ^{2} \theta e^{\pm 2i \phi}
3 ±3 \mp \sqrt{ \frac{35}{64 \pi} } \sin^{3} \theta e^{\pm 3i \phi}

Interpretacja graficzna harmonik[edytuj | edytuj kod]

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych θ oraz Φ w układzie sferycznym. Po powrocie do układu kartezjańskiego, czyli owinięciu płaszczyzny harmonik na sferze o promieniu r otrzymujemy reprezentację harmonik w układzie kartezjańskim. W fizyce harmoniki sferyczne obrazują orbitale elektronowe w atomie i wyglądają jak pokazane na rysunku powyżej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]