Funkcja W Lamberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji W0(x).
z = Re(W0(x + i y)) (część rzeczywista funkcji)
z = Im(W0(x + i y)) (część urojona funkcji)
moduł funkcji z = W0(x + i y)

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omegafunkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do f(z)=ze^z\;, gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem W(z)\;. Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:

z=W(z)e^{W(z)}\;

Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji W_k(z) gdzie k\in\mathbb Z oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W0(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji Wk(z).

Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W0(x), przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź, oznaczana W−1(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0).

Własności funkcji W(z)[edytuj | edytuj kod]

Równanie x^x = z ma rozwiązanie:

x = \frac{\ln(z)}{W(\ln z)} = \exp W(\ln(z))

Pierwotną funkcji W można znaleźć całkując przez podstawienie: jeżeli w = W(x), to x = w e^w, wówczas:

\int W(x)\ dx = x\left(W(x) - 1 + \tfrac{1}{W(x)}\right) + C

Pochodna funkcji W wynosi:

{dW(z)\over dz}={W(z)\over z(1 + W(z))}\quad\mathrm{dla\ }z\neq-{1\over e}

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Funkcja W znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązane za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = XeX, przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

Y=Xe^X\;\Longleftrightarrow\; X=W(Y)

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

2^t=5t\;
\Rightarrow t=\log_2(5t)
\Rightarrow t={\ln(5t)\over\ln2}
\Rightarrow t\ln2=\ln(5t)
\Rightarrow5t=e^{t\ln2}
\Rightarrow{1\over5t}=e^{-t\ln2}
\Rightarrow\underbrace{-\tfrac{\ln2}{5}}_Y=\underbrace{-t\ln2}_Xe^{\overbrace{-t\ln2}^X}
\Rightarrow\underbrace{-t\ln2}_X=W\left(\underbrace{-\tfrac{\ln2}{5}}_Y\right)
\Rightarrow t=-{W\left(-{\ln2\over5}\right)\over\ln2}

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Jeśli wartość z^{z^{z^{\cdots}}} jest skończona można ją obliczyć w następujący sposób:

c=z^{z^{z^{\cdots}}}
\Rightarrow c=z^c

Używając rozumowania przedstawionego powyżej otrzymujemy:

c=-{W\left(-\ln z\right)\over\ln z}

Przykład 3[edytuj | edytuj kod]

Równanie różniczkowe:

y'(t)=ay(t-1)\;

ma równanie charakterystyczne λ = aeλ, czyli λ = Wk(a), gdzie k to numer gałęzi (jeśli a jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W0(a) ). Rozwiązanie wynosi zatem:

y(t)=e^{W_k(a)\,t}\;

Ważne wartości[edytuj | edytuj kod]

W_0(-\tfrac{\pi}{2}) =\tfrac{\pi}{2}i
W_0(-1)\; \approx-0,31813-1,33723i
W_0(-\tfrac{1}{e}) =-1\;
W_0(-\tfrac{\ln2}{2}) =-\ln 2\;
W_0(0)\; =0\;
W_0(e)\; =1\;
W_0(1)\; =\Omega\approx0,56714329 (stała Omega)