Zbiór gęsty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór gęsty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej (X,d) zbiór D\subset X nazywamy gęstym jeśli dla każdego x\in X i liczby \varepsilon>0 istnieje element q\in D taki, że d(x,q)<\varepsilon, tzn. dowolnie blisko każdego elementu x\in X znajduje się jakiś element z D.

Przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty nazywa się przestrzenią ośrodkową. W przestrzeni topologicznej X jej podzbiór A\subset X nazywamy zbiorem nigdziegęstym jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa ) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.
  • Zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie 2 \pi z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie.
  • Dopełnienia zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeniach Baire'a są zbiorami gęstymi.
  • Zbiory pełnej miary Lebesgue'a na prostej są zbiorami gęstymi.
  • Przecięcie dwóch zbiorów gęstych może być zbiorem pustym, np. zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęste na prostej, ale ich część wspólna jest zbiorem pustym. Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie zawierają więcej niż dwóch rozłącznych podzbiorów gęstych, tzw. irresolvable spaces.

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór D częściowego porządku (P, <) taki, że

\forall_{p \in P}\; \exists_{d \in D}\; d < p.