Rezonans

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy efektu fizycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rezonanszjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się wzrostem amplitudy drgań układu drgającego dla określonych częstotliwości drgań wymuszających. Częstotliwości dla których drgania mają największą amplitudę nazywa się częstotliwością rezonansową. Dla tych częstotliwości, nawet małe okresowe siły wymuszające mogą wytwarzać drgania o znacznej amplitudzie. Wiele systemów ma wiele odrębnych częstotliwości rezonansowych.

Zjawisko rezonansu występuje dla wszystkich typów drgań i fal.

Rezonans występuje, gdy układ drgający łatwo pobiera energię ze źródła pobudzającego go i jest w stanie przechowywać ją. Jednakże, zazwyczaj w układzie istnieją pewne straty energii, zwane tłumieniem, zależą one od amplitudy drgań układu, dlatego przy stałym wymuszaniu dochodzi do stanu równowagi.

Układy rezonansowe mogą generować drgania o określonej częstotliwości (np. instrumenty muzyczne) poprzez wybieranie i wzmacnianie konkretnych częstotliwości wibracji z kompleksu zawierającego wiele częstotliwości, mogą także przepuszczać tylko określone częstotliwości np. jako filtry częstotliwości.

Gdy układ drgający o bardzo słabym tłumieniu pobudzany jest drganiem o częstotliwości zbliżonej do jego częstotliwości rezonansowej, układ okresowo pobiera i oddaje energię zmieniając amplitudę cyklicznie co określane jest jako dudnienie.

Rezonans został po raz pierwszy opisany przez Galileusza jako wniosek z jego badań sprzężonych wahadeł oraz strun instrumentów muzycznych w 1602 r[1].

Przykłady rezonansu[edytuj | edytuj kod]

Rezonansowy charakter Widm czynnościowych fotosyntezy roślin, krasnorostu Porphyra oraz absorpcja dla głównych barwników fotosyntetycznych

Rezonans występuje powszechnie w naturze i jest wykorzystywany w wielu urządzeniach sztucznych. Jest mechanizm, który umożliwia generowanie drgań i fal o danej częstotliwości, przykładami są:

  • rezonans mechaniczny;
  • rezonans elektryczny;
  • Rezonans optyczno chemiczny;
  • rezonansowa charakterystyka czynnościowa fotosyntezy, czułości oka
  • Rezonans elektryczno- mechaniczny

Drgania harmoniczne tłumione[edytuj | edytuj kod]

Zależność amplitudy drgań wymuszonych stacjonarnych od częstotliwości dla różnych współczynników tłumienia
Zależność krzywej rezonansowej od dobroci układu drgań

Najprostszym układ rezonansowym jest układ drgań harmonicznych tłumionych pobudzany zewnętrznymi drganiami. Przy tłumieniu i niezmieniającym się wymuszaniu drgań harmonicznych o jednym stopniu swobody układ drgający dochodzi do drgań z częstotliwością wymuszającą i stałą amplitudą. Taka sytuacja zwana jest stanem stacjonarnym.

Stan stacjonarny[edytuj | edytuj kod]

Dla drgań wymuszonych w stanie stacjonarnym układ drgający pobiera i rozprasza średnio moc równą:

P = P_0 \frac{\Gamma^2 \omega^2}{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + \Gamma^2 \omega^2 },

gdzie:

P\, – rozpraszana moc,
P_0\, – moc rozpraszana dla \omega = \Omega\,,
\omega\,częstość drgań wymuszających,
\Omega\, – częstość drgań własnych oscylatora,
\Gamma\, – współczynnik tłumienia,
 Qdobroć układu rezonansowego.

Przedział częstości  \Delta\omega\, dla której moc rozpraszana jest równa połowie mocy z maksimum jest nazywana szerokością rezonansu i jest równa odwrotności czasu zaniku (czasu życia) drgań:

 \Delta\omega = \Gamma = \frac{1}{\tau}
 Q = \frac {\Delta \omega} {\omega_{rez}} = \frac \Gamma \omega_{rez}

gdzie:

Zależność ta oznacza, że dla drgań słabo tłumionych krzywa rezonansowa jest wysoka i wąska, dla drgań silnie tłumionych niska i szeroka. Zależność ta umożliwia też określenie współczynnika tłumienia obwodu rezonansowego na podstawie obserwacji szerokości krzywej rezonansowej, oraz określenie krzywej rezonansowej na podstawie zaniku drgań swobodnych.

Szerokość krzywej rezonansowej określa się też przez współczynnik dobroci układu rezonansowego.

Amplituda tych drgań zależy od częstości drgań wymuszających \omega\,. Gdy \omega\, jest bliskie częstotliwości drgań własnych oscylatora \Omega\,, to amplituda rośnie i osiąga maksimum dla częstości drgań własnych zwanych częstością rezonansową. Zjawisko to nazywa się rezonansem amplitudy. Podobnie można mówić o rezonansie mocy, gdy energia pobierana przez układ drgający, a dostarczana przez oscylującą siłę zewnętrzną, osiąga maksimum \Omega\,.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Zależność amplitudy absorpcyjnej i elastycznej od częstości kołowej.

Niech siła wymuszająca będzie dana wzorem F = F_{0}\cos({\omega}t)\, Wtedy:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+m \Gamma \frac{dx}{dt}+m \Omega^2 x = F_{0}\cos({\omega}t)

Rozwiązanie w stanie stacjonarnym można przedstawić jako sumę drgań o fazie zgodnej z drganiami wymuszającymi i przesuniętych o 90°.

x (t) = A\sin(\omega t)+ B \cos(\omega t)

Wówczas:

A = \frac {F_0} m \frac {\Gamma \omega} {(\Omega^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2 \omega^2}
B = \frac {F_0} m \frac {\Omega^2 - \omega^2} {(\Omega^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2 \omega^2 }

Stała A nazywana amplitudą absorpcyjną jest równa uśrednionej w czasie absorpcji energii przez układ.

Stała B nazwana amplitudą elastyczną lub sprężystą odpowiada za drgania nie mające wpływu na pobieranie energii przez układ.

Największą amplitudę układ drgający osiąga gdy częstość drgań wymuszających jest równa częstości drgań oscylatora swobodnego (niewzbudzanego):

 \omega^2 = \Omega^2 - {\frac {\Gamma ^2} 4}

Wnioski: Układ pobiera najwięcej energii w rezonansie, drgania układu są wówczas przesunięte o 90° do drgań siły wymuszającej. Dla częstotliwości znacznie większych od częstotliwości rezonansowej amplituda elastyczna jest znacznie większa od amplitudy absorpcyjnej, co oznacza ze układ drga w fazie z siłą wymuszającą, w tym stanie drgania mogą być opisane wzorem:

x(t)\simeq A_{el}\cos\omega t\simeq{{F_0\cos\omega t}\over{M(\Omega^2-\omega^2)}}\,

gdzie:

F_{0}\, – amplituda siły wymuszającej,

Drgania w pobliżu rezonansu[edytuj | edytuj kod]

W pobliżu rezonansu zależność kwadratu amplitudy, energii oscylacji, mocy traconej przez oscylator w przybliżeniu zależą w jednakowy sposób od częstości kołowej i wyrażają się podobnym wzorem:

F(\omega) = F_{max}R(\omega)

gdzie:

R(\omega) = \frac{\frac{\Gamma}{2}}{(\omega - \Omega)^2 + \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^2 }

Funkcja ta jest symetryczna względem częstości rezonansowej \Omega i jest Rozkładem Cauchy'ego. W optyce zależność ta jest zwana rozkładem lorentzowskim, w fizyce jądrowej rezonansową krzywą Breita-Wignera[2].

Brak tłumienia[edytuj | edytuj kod]

Gdy rezonator nie jest tłumiony pobudzanie go drganiami zewnętrznymi generuje w nim drgania będące złożeniem drgań o częstości drgań własnych oscylatora i częstości drgań pobudzających:

x(t) = \frac {F_0} M \frac {\cos (\Omega t) - \cos (\omega t) } {\Omega^2 - \omega^2}

co można zapisać jako:

x(t) = A_{mod}(t) \sin(\frac {\Omega + \omega} 2 t)
A_{mod}(t) = \frac {F_0} {M} \frac {2 \sin(\frac {1} {2} (\Omega -\omega) t )} {\Omega^2 - \omega^2}

co odpowiada dudnieniom o częstości \frac {1} {2} (\Omega -\omega).

Gdy częstość pobudzania zbliża się do częstości rezonansowej, to okres dudnień rośnie nieskończenie, co wynika z powyższych wzorów po zastosowaniu przybliżeń:

x(t) = \frac 1 2 \frac {F_o} {M \omega} t \sin(\omega t)

Wzór ten odpowiada drganiom o liniowo rosnącej amplitudzie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Stillman Drake, Noel M. Swerdlow, and Trevor Harvey Levere: Essays on Galileo and the history and philosophy of science. University of Toronto Press, 1999, s. 41–42. ISBN 978-0-8020-7585-7.
  2. F C Crawford: Fale. PWN, 1973, s. 124.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Fale, F.C. Crawford, PWN 1973
  • Robert Resnick, David Halliday, Fizyka 1, ISBN 83-01-09322-6