Wahadło

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Poniższy artykuł zawiera szczegółowe ujęcie tematu wahadła z punktu widzenia fizyki i matematyki. Wstęp do tego tematu opisano w

Wahadło realne, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.
Siły działające na ciało wahadła: siła grawitacji mg oraz siła napięcia nici T. Nić jest nierozciągliwa, dlatego siła T równoważy siły skierowane wzdłuż nici: składową siły grawitacji oraz siłę odśrodkową.

Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne,
  • fizyczne.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione, gdy maksymalny kąt odchylenia wahadeł od pionu jest mniejszy niż 0,1 radiana (ok. 6°)[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań wahadła, stanowi podstawę budowy zegarów wahadłowych od czasu, gdy około 1602 Galileo Galilei zbadał izochronizm wahadła i użył go do pomiaru czasu. Metoda ta była najdokładniejszą metodą pomiaru aż do lat 30-ty XX wieku.

Opis matematyczny wahadeł jest w ogólności dość złożony i dlatego zwykle robi się upraszczające założenia. W przypadku wahadła matematycznego pozwala to rozwiązać równania ruchu wahadła w sposób analityczny dla tzw. małych amplitud drgań.

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Przez wahadło matematyczne definiuje się punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia[1]:

  • Rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu do długości nici.
  • Nić jest nieważka (a nie jest np. masywnym prętem, jak w rzeczywistych zegarach wahadłowych).
  • Nić jest nierozciągliwa (a nie jest np. gumą; wtedy układ miałby dwa stopnie swobody i wykonywał drgania złożone).
  • Wahadłu nadano takie warunki początkowe, że wykonuje drgania po okręgu w płaszczyźnie pionowej (a nie ruch po elipsie w płaszczyźnie poziomej).
  • Na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (a pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)[1].

Równanie ruchu wahadła dla dowolnych amplitud[edytuj | edytuj kod]

Przy tych założeniach równanie ruchu wahadła określa wzór:

{d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

gdzie:

  • \theta(t) – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g – przyspieszenie ziemskie,
  • \ell – długość nici.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła: Na ciało zawieszone na nici działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości oraz siła napięcia nici. Siła napięcia nici równoważy składową siły ciężkości działającą wzdłuż nici oraz siłę odśrodkową, powstającą w wyniku ruchu wahadła. Niezrównoważona pozostaje składowa siły ciężkości styczna do okręgu, której współrzędna uogólniona (w układzie biegunowym) określona jest wzorem[1]

 F_s = - m g \sin \theta

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła ta jest zawsze skierowana w kierunku malejących kątów[b]. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła ta nadaje ciału przyspieszenie styczne do okręgu[2]

 a_s = \frac{F_s}{m}= - g \sin \theta

Przyspieszenie styczne można wyrazić jako iloczyn przyspieszenia kątowego  \varepsilon = \frac{d^2 \theta}{dt^2}  i długości promienia \ell okręgu[3]

 a_s = \ell {d^2\theta\over dt^2}

Porównując oba wzory na  a_s otrzymuje się równanie ruchu, podane na początku.

Przybliżenie opisu drgań dla małej amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Amplitudą drgań (amplitudą kątową) nazywa się kąt maksymalnego odchylenia wahadła od położenia równowagi. Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem gdy kąt jest odpowiednio mały (szereg Taylora)[c].

\sin \theta \approx \theta

i ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Z rozwiązania otrzymuje się zależność kąta wahań od czasu[4]

\theta(t) =\theta_0 \,\text{sin}(\omega t+\varphi)

gdzie:

  •  \theta_0 – amplituda drgań,
  • \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} – częstość kołowa drgań,
  • \varphi – faza początkowa drgań (gdy w chwili t = 0 wychylenie wahadła wynosi zero, \theta(0) =0 , to \varphi=0 ).

Ponieważ okres drgań jest związany z częstością wzorem T =\frac{2\pi }{\omega}, to okres drgań wynosi[1]

T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie[edytuj | edytuj kod]

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od θo opisuje wzór[5]

\begin{alignat}{2}
T(\theta_0) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot\!\! \sum_{n=0}^\infty \left[
\!\!
 \left (\! \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2}\!\! \right )^2\!\!\! \cdot \sin^{2n}\!\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]
\end{alignat}
=\! 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego[6]. Wzór na okres drgań można wyrazić też w postaci

T = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju (wyprowadzenie poniżej).

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów[edytuj | edytuj kod]

Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Jeżeli ciało spada w dół na odległość h od stanu spoczynku, to nabywa energię kinetyczną {1\over2}mv^2 kosztem utraty energii potencjalnej grawitacji mgh\,. Jeżeli nie ma strat energii (co zakładamy), to powyższe dwie wielkości są sobie równe, czyli[7]

{1\over2}mv^2 = mgh

Stąd prędkość wahadła wynosi:

v = \sqrt{2gh}\,

Ponieważ v = {\ell}{d\theta\over dt} , to otrzyma się prędkość kątową wahadła w funkcji h

{d\theta\over dt} = {1\over \ell}\sqrt{2gh}

Wysokość h jaką przebyło wahadło w pionie od stanu spoczynku (któremu odpowiada kąt \theta_0 maksymalnego odchylenia wahadła) można wyrazić przez wielkości y_0 oraz y_1 (por. rysunek obok)

y_0 = \ell\cos\theta_0\,

oraz

y_1 = \ell\cos\theta\,

Ponieważ h jest różnicą powyższych wielkości, to

h = \ell\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)

i ostatecznie otrzyma się[7]

{d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}

albo

dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Okres wahań T otrzymuje się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do \theta_0 i mnożąc tę całkę przez 4 (bo ciało po wyjściu z położenia maksymalnego odchylenia wraca do niego po czasie T)[8]:

T =4 \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta_0}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci, której wartości są stablicowane, wyraża się \theta w zależności od u dokonując podstawienia \sin{u} = \frac{\sin{\theta\over 2}}{\sin{\theta_0\over 2}} , co prowadzi do wzoru na okres drgań wahadła[8]

T = 4\sqrt{\ell\over g}\,
\text{K}\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju zdefiniowaną jako

\text{K}(k) = F \left( {\pi\over 2}, k \right) = \int_0^{\pi/2} {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{u}}}\,du

(przy czym do \text{K}(k) należy podstawić k= \sin{\theta_0\over 2} ). Całkę tą można rozwinąć w szereg[8]

\begin{alignat}{2}
\text{K}(k) = \frac{\pi}{2} \Bigg\{ 1+ \sum_{n=1}^\infty \left[
\!\!
 \left (\! \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2}\!\! \right )^2\!\!\! \cdot k^{2n} \right]\Bigg\}
\end{alignat}

co prowadzi do wzoru na okres drgań wrażony przez szereg, podany wyżej.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła z zasady zachowania energii[edytuj | edytuj kod]

Zostanie tutaj wyprowadzone równanie ruchu wahadła w oparciu o zasadę zachowania energii. Energia mechaniczna wahadła jest zachowana, gdyż zakłada się tutaj działanie na układ jedynie sił zachowawczych, a pomija opory ruchu. W ogólności zachowanie energii mechanicznej pozwala na wyprowadzenie równania ruchu dowolnego układu bez potrzeby odwoływania się do konkretnej postaci działających sił, co zazwyczaj prowadzi do prostszych obliczeń.

Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie {d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} (z użyciem reguły łańcuchowej) otrzyma się przyspieszenie kątowe

{d\over dt}{d\theta\over dt} = {d\over dt}\sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}

czyli


\begin{align}
{d^2\theta\over dt^2} & = {1\over 2}{-(2g/\ell) \sin\theta\over\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}{d\theta\over dt} \\
& = {1\over 2}{-(2g/\ell) \sin\theta\over\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}\sqrt{{2g\over \ell} \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} = -{g\over \ell}\sin\theta
\end{align}

Stąd:

{d^2\theta\over dt^2} + {g\over \ell}\sin\theta = 0,

co jest tym samym równaniem które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.


Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[edytuj | edytuj kod]

a) Wykres energii potencjalnej V(\theta) wahadła prostego w zależności od kąta \theta (u góry) b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła d\theta\over dt od kąta odchylenia \theta (u dołu).

Dotychczas nie zostało podane rozwiązanie ruchu wahadła \theta(t) dla dowolnych amplitud \theta_0. Równanie to jest jest jednak już dane, ale w postaci uwikłanej[9]:

dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Znajdując t(\theta) poprzez całkowanie w zakresie od 0 do \theta, przy ustalonej wartości kąta \theta_0 otrzyma się czas, w którym wahadło jest odchylone o kąt \theta

t(\theta) = \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

która sprowadza się do całki eliptycznej pierwszego rodzaju, przy czym zamiast kąta \theta_0 jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczna E wahadła[9].

Wielkość energii E określają punkty zwrotne ruchu wahadła (czyli kąty maksymalnego odchylenia \pm\theta_0 ). Jeżeli energia E jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej E_{min}=2 m g h (przy założeniu, że zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła d\theta\over dt od kąta odchylenia \theta są krzywymi zamkniętymi (por. rysunek). Dla energii E=E_{min}równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii E>E_{min} większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu. W ogólności płaszczyzna fazowa odgrywa ważną rolę przy rozwiązywaniu nieliniowych równań różniczkowych[8].

Poniżej zestawiono animacje pokazujące różne sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego na Ziemi. Mody te zależą od warunków początkowych ruchu. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

Względność przyspieszenia. Wahadło w stacji kosmicznej[edytuj | edytuj kod]

Stan nieważkości - przyspieszenie ciał względem ścian pojazdu jest zerowe, mimo że pojazd jest w polu grawitacyjnym Ziemi. W tych warunkach wahadło nie wykonuje oscylacji (  T=+\infty), gdyż na ruch wahadła ma wpływ jedynie przyspieszenie względne.

W ogólności przez g we wzorze na okres drgań wahadła należy rozumieć przyspieszenie względne, jakiego doznaje ciało zawieszone na nici względem punktu zawieszenia. Jest to konsekwencja zasady względności Einsteina, według której zjawisk wywołanych lokalnie przez grawitację nie da się odróżnić od zjawisk spowodowanych przez siły bezwładności (które pojawiają się w układach poruszających się z przyspieszeniami). Stąd np. w układzie swobodnie spadającym w polu grawitacyjnym nie ma da się stwierdzić istnienia pola grawitacyjnego, bo siła bezwładności jest równa sile ciężkości i przeciwnie do niej skierowana i w konsekwencji pojawia się stan nieważkości. W windzie spadającej z przyspieszeniem grawitacyjnym w kierunku Ziemi lub w stacji kosmicznej krążącej wokół Ziemi (gdzie ciała są w stanie nieważkości ze względu na to, że stacja także spada swobodnie w kierunku Ziemi), przyspieszenie względne g = 0[10].

Z wzoru na okres drgań wahadła wynika, że wtedy T=+\infty, co oznacza, że wahadło w warunkach nieważkości nie wykonuje drgań, lecz tkwi nieruchomo, ustawione pod dowolnym kątem względem ustalonego kierunku.

Wahadło fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Okres drgań wahadła fizycznego dla małych drgań określa wzór[11]:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

gdzie:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

 T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell_0}{g}}

gdzie  \ell_0 = \frac{I}{md} - tzw. długość zredukowana wahadła.

Dla dowolnych amplitud \theta_0 okres drgań wyraża się wzorem identycznym jak dla wahadła matematycznego o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego[12]

T(\theta_0)=\! 2\pi \sqrt{\ell_0\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

Wahadło Foucaulta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.
Wahadło Foucaulta w Poznaniu
Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia - trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia - rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu (o odpowiednio dużej długości i zawieszone tak, by wyeliminować opory ruchu), jest nazywane wahadłem Foucaulta[13].

Wyjaśnienie obrotu płaszczyzny wahadła jest prostsze z punktu widzenia obserwatora znajdującego się w układzie inercjalnym. W układzie inercjalnym, którym jest w dobrym przybliżeniu środek Słońca (a w bardzo dobrym przybliżeniu środek Drogi Mlecznej)[14], płaszczyzna drgań wahadła jest stała (por. animacja ruchu w Paryżu)[15].

Ziemia obraca się względem układu inercjalnego wykonując ruch dobowy wokół własnej osi (oraz inne, mniej istotne dla ruchu wahadła Foucaulta obroty o mniejszej prędkości kątowej - wokół Słońca oraz wokół środka Galaktyki)[14].

Z powodu obrotu Ziemi obserwator znajdujący się na Ziemi widzi efekt przeciwny - powolny obrót płaszczyzny drgań wahadła[16]. Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór[15]:

T= \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}

gdzie \varphiszerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres ten wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Z powyższego wzoru wynika, że na biegunach, gdzie \varphi=\pm 90^o, okres ten wynosi 24 h.

Drgania swobodne i nieswobodne wahadła[edytuj | edytuj kod]

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch[17].

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa się na nie siłą wymuszającą ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów wahadłowych. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por.Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)[18].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

przyrządy będące wahadłami
wahadła

kwantowe układy drgające

Uwagi

  1. Dla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu, co jest znacznie poniżej możliwości eksperymentalnego zmierzenia w typowych układach eksperymentalnych.
  2. Jest to podobnie jak w ruchu harmonicznym, gdzie siła jest zawsze skierowana przeciwnie do przesunięcia x ciała od położenia równowagi; wtedy jej współrzędną określa wzór F = - k x.
  3. Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 91.
  2. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 35.
  3. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 15-18.
  4. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 44.
  5. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 97.
  6. Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy (ang.).
  7. 7,0 7,1 A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 340-343.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993, s. 256-257.
  9. 9,0 9,1 L. D. Landau, E. M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011, s. 41-46.
  10. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 296-298.
  11. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 327.
  12. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 328.
  13. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 171-172.
  14. 14,0 14,1 C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993, s. 80-87.
  15. 15,0 15,1 A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 171.
  16. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 293.
  17. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 64,72.
  18. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 47-58.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.
  2. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, Mechanika|, PWN, Warszawa 1993.
  3. W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  4. L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.
  5. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1, PWN, Warszawa 1980, ISBN 830100987X.
  6. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki. T. 1, PWN, Warszawa 1976.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  1. S. Banach, Mechanika, Część I. Monografie Matematyczne 8, Warszawa-Lwów-Wilno 1938, str. V+234
  2. Ćwiczenie Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
  3. Wahadło fizyczne (ang.)