Wahadło

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zobacz też: Wahadło (narzędzie tortur).
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.
Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Wahadłociało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne
  • fizyczne

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

Analiza ruchu wahadła[edytuj | edytuj kod]

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Równanie ruchu wahadła określa wzór:

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0

Wzór ten można wyprowadzić kilkoma metodami, analizując ruch ciała jako ruch liniowy albo ruch po okręgu. Na ciało to działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości. Składowa siły ciężkości działająca wzdłuż nici jest prostopadła do chwilowego kierunku ruchu i wpływa jedynie na kierunek ruchu. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, niezerowa składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie styczne zmieniające wartość prędkości zgodnie ze wzorem:

 m a_s = - m g \sin \theta

Składowa styczna przyspieszenia liniowego a_s w ruchu po okręgu związana jest ze zmianą kąta \theta:

 a_s = l {d^2\theta\over dt^2}

Przybliżenie małej amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Dla małych wychyleń θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania:

\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgania harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0

gdzie \omega =\frac{2\pi }{T} jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wahania o dużej amplitudzie[edytuj | edytuj kod]

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ0 i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

\begin{alignat}{2}
T = 2\pi \sqrt{l\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]
\end{alignat}

\approx 2\pi \sqrt{l\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right)

Zależność okresu drgań wahadła T od kąta wychylenia \theta.

Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

Wahadło fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:


T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

 T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}},

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l_0

 l_0 = \frac{I}{md}

gdzie:

Wahadło Foucaulta[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.
Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}

gdzie \varphi, to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

Inne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Fizyka Mieczysław Jeżewski, PWN, Warszawa 1966.
  2. ”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
  3. “Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
  4. ''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.
  5. Mechanika Część I. Monografie Matematyczne 8, Stefan Banach:, Warszawa-Lwów-Wilno, 1938, s. V+234, dostępne pod [1]
  6. Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego [2]