Twierdzenie Hahna-Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech

(a) X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych,
(b) p\colon X\to {\mathbb R} będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
p(x+y)\leqslant p(x)+p(y) dla wszystkich x, yX,
p(\alpha x)=\alpha p(x) dla wszystkich α ∈ [0, ∞) i xX,
(c) M będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X,
(d) \varphi\colon M \to {\mathbb R} będzie takim odwzorowaniem liniowym, że
\varphi(x)\leqslant p(x) dla wszystkich xM.

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy \Phi\colon X\to{\mathbb R}, że

\Phi(x)= \varphi(x)

dla wszystkich xM oraz

\Phi(x)\leqslant p(x)

dla wszelkich xX.

Uwagi o dowodzie[edytuj | edytuj kod]

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli X jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał p\colon X\to\mathbb{R} spełnia warunek (b), to dla każdego x_0\in X istnieje taki funkcjonał liniowy f\colon X\to \mathbb{R}, że f(x_0)=p(x_0) oraz f(x)\leqslant p(x) dla x\in X.
  • Załóżmy, że
(a) X jest przestrzenią liniową nad ciałem {\mathbb K} liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a p\colon X\longrightarrow [0,\infty) jest półnormą,
(b) M\subseteq X jest podprzestrzenią liniową, oraz \varphi_0\colon M \to {\mathbb K} jest funkcjonałem liniowym takim, że
|\varphi_0(x)|\leqslant p(x) dla wszystkich x\in M.
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy \varphi\colon X\to{\mathbb K} taki, że \varphi|_M=\varphi_0 oraz
|\varphi(x)|\leqslant p(x) dla wszystkich x\in X.
y^*|_M = x^* oraz \|x^*\|=\|y^*\|.
  • Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli X jest niezdegenrowaną przestrzenią unormowaną oraz x\in X\setminus \{0\}, to \|x\|=x^* x dla pewnego x^*\in X^* takiego, że \|x^*\|= 1. Ponadto
\|x\|=\sup\big\{|x^* x|\colon\,x^*\in X^*\, , \|x^*\|= 1\big\}.
  • Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, M jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz x\in X\setminus M, to istnieje x^*\in X^* taki, że
f(x)=1,\; x^*|_M\equiv 0 oraz \|x^*\|=\tfrac{1}{{\rm dist}(x,M)}.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha[edytuj | edytuj kod]

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Kreina[edytuj | edytuj kod]

Niech P będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej X o niepustym wnętrzu. Jeżeli M jest podprzestrznią liniową przestrzeni X oraz \varphi_0\colon M\to \mathbb{R} jest funkcjonałem liniowym takim, że

\varphi_0(M\cap P)\subseteq [0,\infty),

to istnieje funkcjonał liniowy \varphi\colon X\to \mathbb{R} taki, że

\varphi|_M=\varphi_0

oraz

\varphi(P)\subseteq [0,\infty).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems. [1]
  2. Mark Aronovich Naimark, Normed Rings. Wolters–Noordhoff, Groningen, 1970, s. 63
  3. Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.

Przypisy

  1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. Fundamenta Mathematicae 138 (1991)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]