Twierdzenie Wedderburna

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie mówiące, że każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Dowód

Niech F będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jednością) o charakterystyce p . Niech Z będzie jego centrum, a q = p ^f niech będzie liczbą elementów Z. Jeśli wymiar F jako przestrzeni wektorowej nad Z jest równy n, to F ma q ⁿ elementów. Grupę multyplikatywną F* niezerowych elementów pierścienia F można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującym sensie:

• Dwa elementy x₁ i x₂ grupy F* są sprzężone, jeśli istnieje taki element y grupy F*, że x₂ = y^-1x₁y.

Dla każdego $x \in F^{*}$ oznaczymy przez N(x) zbiór elementów pierścienia F komutujących z x. Jest to podpierścień w F zawierający Z. Jeśli $\delta(x)$ jest wymiarem (w sensie przestrzeni wektorowej) N(x) nad Z, to N(x) ma $q^{\delta(x)}$ elementów. Liczba n jest podzielna przez $\delta (x)$ i $\delta (x) < n\;$ dla $x \not\in Z$.

Ponieważ liczba elementów grupy F* sprzężonych z x jest równa indeksowi grupy N(x)* w F*, czyli

$\frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1}$,

więc

(*) $q^n - 1 = q - 1 + \sum\limits_{x} \frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1}$,

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór przedstawicieli klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z F*. Niech n > 1 i niech

$P(T) = \prod\limits_{\zeta}(T - \zeta)$,

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwotne pierwiastki $\zeta\;$ z jedynki n-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Zgodnie ze znanym twierdzeniem, wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli δ dzieli n i jest różne od n, to wielomian P dzieli

$\frac{T^n - 1}{T^{\delta} - 1}$.

Dlatego w (*) z wyjątkiem q - 1 wszystkie składniki są podzielne przez P (q) i dlatego P (q) | q - 1. Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

$P(q) = \prod\limits_{\zeta}(q - \zeta)$

ma wartość bezwzględną większą od q - 1, skąd sprzeczność. Zatem n = 1 i F = Z, czyli F jest pierścieniem przemiennym.

Bibliografia

• Weil André: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967.
• J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 

Zobacz też

• Twierdzenie Wedderburna na PlanetMath (ang.)