Twierdzenie Wedderburna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie mówiące, że każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne)[1][2][3]. Dowód w 1905[4] roku podał Joseph Wedderburn, któremu twierdzenie zawdzięcza swoją nazwę.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech F będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jednością) o charakterystyce p [5]. Niech Z będzie jego centrum, a q = p f niech będzie liczbą elementów Z. Jeśli wymiar F jako przestrzeni wektorowej nad Z jest równy n, to F ma q n elementów. Grupę multyplikatywną F* niezerowych elementów pierścienia F można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującym sensie:

  • Dwa elementy x1 i x2 grupy F*sprzężone, jeśli istnieje taki element y grupy F*, że x2 = y-1x1y.

Dla każdego x \in F^{*} oznaczymy przez N(x) zbiór elementów pierścienia F komutujących z x. Jest to podpierścień w F zawierający Z. Jeśli \delta(x) jest wymiarem (w sensie przestrzeni wektorowej) N(x) nad Z, to N(x) ma q^{\delta(x)} elementów. Liczba n jest podzielna przez \delta (x) i \delta (x) < n\; dla x \not\in Z.

Ponieważ liczba elementów grupy F* sprzężonych z x jest równa indeksowi grupy N(x)* w F*, czyli

\frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1},

więc

(*) q^n - 1 = q - 1 + \sum\limits_{x} \frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1},

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór przedstawicieli klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z F*. Niech n > 1 i niech

P(T) = \prod\limits_{\zeta}(T - \zeta),

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwotne pierwiastki \zeta\; z jedynki n-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Zgodnie ze znanym twierdzeniem, wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli δ dzieli n i jest różne od n, to wielomian P dzieli

\frac{T^n - 1}{T^{\delta} - 1}.

Dlatego w (*) z wyjątkiem q - 1 wszystkie składniki są podzielne przez P (q) i dlatego P (q) | q - 1. Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

P(q) = \prod\limits_{\zeta}(q - \zeta)

ma wartość bezwzględną większą od q - 1, skąd sprzeczność. Zatem n = 1 i F = Z, czyli F jest pierścieniem przemiennym.

Przypisy

  1. Weil 1967 ↓, s. 23-24.
  2. Wedderburn 1905 ↓.
  3. W terminologii rosyjskiej ciało nie musi być przemienne. Ciało przemienne nazywają oni polem. Wtedy twierdzenie Wedderburna można wypowiedzieć następująco: Każde ciało skończone jest polem.
  4. Aigner i Ziegler 2002 ↓.
  5. Tłumaczenie dowodu zamieszczonego w książce A. Weila, op. cit.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967., wyd. ros. 1972
  • J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 
  • Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: PWN, 2002.