Twierdzenie Wedderburna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniemprzemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym[1][2]. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku[3] (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta[potrzebne źródło] i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech F będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce p. Niech Z będzie jego centrum, a q = p f niech będzie liczbą elementów Z. Jeśli wymiar F jako przestrzeni liniowej nad Z jest równy n, to F ma q n elementów. Grupę multyplikatywną F* niezerowych elementów pierścienia F można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy x1 i x2 grupy F*sprzężone, jeśli istnieje taki element y grupy F*, że x2 = y-1x1y.

Niech dla x \in F^{*} symbol N(x) oznacza centralizator elementu x (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia F przemiennych z x. Jest to podpierścień w F zawierający Z. Jeśli \delta(x) jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) N(x) nad Z, to N(x) ma q^{\delta(x)} elementów. Liczba n jest podzielna przez \delta (x) i \delta (x) < n\; dla x \not\in Z.

Ponieważ liczba elementów grupy F* sprzężonych z x jest równa indeksowi grupy N(x)* w F*, czyli

\frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1},

więc

(*) q^n - 1 = q - 1 + \sum\limits_{x} \frac{q^n - 1}{q^{\delta(x)} - 1},

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z F*. Niech n > 1 i niech

P(T) = \prod\limits_{\zeta}(T - \zeta),

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne \zeta\; z jedynki n-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli δ dzieli n i jest różne od n, to wielomian P dzieli

\frac{T^n - 1}{T^{\delta} - 1}.

Dlatego w (*) z wyjątkiem q - 1 wszystkie składniki są podzielne przez P (q) i dlatego P (q) | q - 1. Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

P(q) = \prod\limits_{\zeta}(q - \zeta)

ma wartość bezwzględną większą od q - 1, skąd sprzeczność. Zatem n = 1 i F = Z, czyli F jest pierścieniem przemiennym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967., wyd. ros. 1972
  • J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 
  • Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: PWN, 2002.