Grupa Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Bardziej elementarny opis grup Galois w języku grup permutacji można znaleźć w artykule dotyczącym teorii Galois.

Grupa Galoisgrupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste'a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.

Definicja[edytuj kod]

Niech będzie rozszerzeniem ciała , co zapisuje się lub i czyta „ przez ”. Rozważmy wszystkie automorfizmy , tzn. izomorfizmy ciała w siebie takie, że dla każdego . Zbiór takich automorfizmów z operacją składania funkcji tworzy grupę nazywaną grupą automorfizmów tego rozszerzenia, oznaczaną .

Jeżeli jest rozszerzeniem Galois, to nazywa się grupą Galois (rozszerzenia) nad i oznacza zwykle symbolem lub krótko .

Przykłady[edytuj kod]

W poniższych przykładach oznacza ciało, zaś są ciałami odpowiednio liczb zespolonych, rzeczywistych i wymiernych. Zapis oznacza rozszerzenie ciała otrzymane przez dołączenie elementu do ciała .

  • jest grupą trywialną (tzn. jednoelementową).
  • ma dwa elementy, automorfizm tożsamościowy i automorfizm sprzężenia zespolonego.
  • jest trywialna. Można pokazać, że dowolny -automorfizm musi zachowuje uporządkowanie liczb rzeczywistych, skąd musi być odwzorowaniem tożsamościowym.
  • jest grupą nieskończoną.
  • ma dwa elementy, automorfizm tożsamościowy i automorfizm zamieniający elementy i .
  • Rozważmy ciało . Grupa zawiera wyłącznie automorfizm tożsamościowy. Jest tak, ponieważ nie jest rozszerzeniem normalnym, gdyż brak pozostałych dwóch pierwiastków sześciennych z 2 (oba zespolone) w rozszerzeniu – innymi słowy nie jest ciałem rozkładu.
  • Rozważmy teraz , gdzie jest pierwiastkiem pierwotnym trzeciego stopnia z jedynki. Grupa jest izomorficzna z lub grupą diedralną rzędu 6, a jest w rzeczywistości ciałem rozkładu wielomianu nad .

Uwagi[edytuj kod]

Własność Galois rozszerzenia ciała pozwala zgodnie z zasadniczym twierdzeniem teorii Galois, przyporządkowywać podciałom ciała podgrupy jego grupy Galois.

Grupa Galois rozszerzenia Galois z topologią Krulla jest grupą proskończoną.

Zobacz też[edytuj kod]

Bibliografia[edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj kod]