Przejdź do zawartości

Jeż (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Jeż z dużą, ale skończoną, liczbą kolców

Jeż – przykład przestrzeni metrycznej zlepionej z kolców złączonych w jednym punkcie, co sprawia, iż przypomina ona swoim wyglądem jeża.

Dla dowolnej liczby kardynalnej jeżem o kolcach nazywa się przestrzeń zdefiniowaną jako zbiór kopii przedziałów jednostkowych utożsamionych w punkcie 0; każdy taki przedział nazywa się kolcem jeża.

Konstrukcja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem nieskończonej mocy przy czym dla każdej liczby dalej wykorzystywane będą oznaczenia:

oraz

Dowodzi się, że relacja określona na warunkiem:

wtedy i tylko wtedy, gdy   i     lub  

jest relacją równoważności. Wzór

określa metrykę w zbiorze klas abstrakcji

Słownie metrykę tę można opisać następująco: zwykła odległość euklidesowa dla punktów, które leżą na tym samym kolcu, i odległość równa sumie odległości euklidesowych od zera obu punktów, gdy leżą one na innych kolcach. Tak zdefiniowaną metrykę nazywa się metryką kolejową, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego bądź paryską[1].

Przestrzeń ilorazową relacji wyposażoną w metrykę nazywa się jeżem z kolcami i oznacza

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Dla każdej liczby przekształcenie odcinka [0,1] w jeża dane wzorem jest zanurzeniem homeomorficznym.
  • Bazą przestrzeni jest rodzina kul otwartych o promieniach wymiernych i środkach w punktach postaci gdzie jest liczbą wymierną oraz Wynika stąd, że waga przestrzeni jest nie większa od Z drugiej strony podprzestrzeń przestrzeni złożona z punktów postaci jest przestrzenią dyskretną mocy stąd waga przestrzeni jest równa
  • Twierdzenie Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze Innymi słowy, każda przestrzeń metryczna wagi jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu przeliczalnie wielu kopii jeża z kolcami[2].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. W ten sposób metryka kolejowa zawężona do koła jednostkowego jest jeżem, przy czym jest mocy continuum.
  2. Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979), s. 188. pdf.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 308, 346.