Klasa sprzężoności

Klasa sprzężoności – podzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja

Niech $G$ będzie grupą. Elementy $a,b\in G$ są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element $g\in G$ taki, że $a=gbg^{-1}.$

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli $G$ na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez $a,b$ są równe, jeżeli $a,b$ są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element $a\in G$ to zbiór

$\{gag^{-1}\colon g\in G\}$

nazywany klasą abstrakcji elementu $a.$

Przykłady

Grupa symetryczna $S_{3},$ składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

• brak zmian (abc → abc),
• zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba),
• cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab).

Grupa symetryczna $S_{4},$ składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista według rzędu):

• brak zmian (1),
• zamiana dwóch elementów miejscami (6),
• cykliczna permutacja trzech elementów (8),
• cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6),
• zamiana miejscami dwóch par elementów (3).

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej $S_{n}$ jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej $n.$ Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów $\{1,2,\dots ,n\}$ na cykle z dokładnością do permutacji elementów $\{1,2,\dots ,n\}.$

Działanie grupy

Dla danej grupy $G$ klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

$g\cdot x=gxg^{-1}.$

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy $G$ na zbiorze wszystkich podzbiorów $G{:}$

$g\cdot S=gSg^{-1}$

lub na zbiorze wszystkich podgrup $G.$ Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności

Jeżeli skończona grupa $G$ działa na sobie przez sprzężenia, a $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

$|G|=\sum _{i=1}^{n}~[G\colon Z(x_{i})].$

Stwierdzenie

Jeżeli element $x\in G$ jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego $g\in G$ zachodzi

$gxg^{-1}=x\iff gx=xg.$

Innymi słowy klasa $x^{G}$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element $x$ jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do $Z(G).$ Niech $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę $G$ można przedstawić w postaci

$G=Z(G)\cup x_{k}^{G}\cup \dots \cup x_{n}^{G},$

gdzie $|x_{i}^{G}|>1$ dla $i=k,\dots ,n.$ Równanie klas przybiera wówczas postać

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i=k}^{n}~[G\colon Z(x_{i})].$

Twierdzenie

Jeśli grupa $G$ jest rzędu $p^{m},$ gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, $|Z(G)|\geqslant p.$

Korzystając z powyższego stwierdzenia jest

$p^{m}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i=k}^{n}~[G\colon Z(x_{i})],$

gdzie $|x_{i}^{G}|>1$ dla $i=k,\dots ,n.$

Na mocy twierdzenia Lagrange’a, każdy indeks $[G\colon Z(x_{i})]$ jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby $p,$ a więc i $p$ dzieli $|Z(G)|.$ Ponadto $|Z(G)|>0,$ gdyż należy do niego element neutralny.

Interpretacja geometryczna

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też

• automorfizm
• sprzężenie