Rozdzielność działania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozdzielność działania (a. dystrybutywność działania) – specyficzna własność działania dwuargumentowego względem innego działania dwuargumentowego.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci

i podobnie z przestawioną kolejnością czynników,

wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci:

czyli (w tym przypadku) mnożenia przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby.

Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę:

Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń:

W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć

to jednak

Zapisując dzielenie w postaci ułamka obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem:

ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej:

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze [a]. Działanie jest względem

  • rozdzielne lewostronnie, gdy dla dowolnych
  • rozdzielne prawostronnie, gdy dla dowolnych
  • rozdzielne obustronnie lub krótko rozdzielne, gdy
    zachodzą oba powyższe warunki.

Jeśli działanie jest przemienne, to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Arytmetyka

Dla dowolnych liczb (całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych)

  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania:
  • minimum i maksimum są rozdzielne względem siebie nawzajem:
  • największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność są wzajemnie rozdzielne:
  • dodawanie jest rozdzielne względem maksimum i minimum:
Teoria mnogości

Dla dowolnie wybranych zbiorów

Rachunek zdań

Dla jakkolwiek ustalonych zdań logicznych

  • koniunkcja i alternatywa są wzajemnie rozdzielne:
Teoria kategorii

Dla dowolnie wybranych obiektów kategorii dwukartezjańsko domkniętej[b][c]

  • produkt jest rozdzielny względem koproduktu:

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Najważniejszymi strukturami matematycznymi, w których zakłada się rozdzielność działań są pierścienie (a więc i ciała) oraz kraty rozdzielne [dystrybutywne] (w tym algebry pseudoboolowskie [Heytinga] i algebry boolowskie [Boole’a]).

Definicje pierścienia uogólnia się na wiele sposobów (np. półpierścień) zachowując przynajmniej jednostronną rozdzielność mnożenia względem dodawania. Rozdzielność działań można zaobserwować również w przypadku wielu innych ważnych par działań niezwiązanych (bezpośrednio) z pierścieniami: pokazują to powyższe przykłady par działań teoriomnogościowych, i oraz rachunku zdań, i

Mnożenie przez ustalony element (z lewej lub prawej strony) traktowane jako operator jest w istocie funkcją addytywną w danym pierścieniu[d]. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej grupy addytywnej, co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. działań grup na zbiorach, modułów nad pierścieniami (przestrzeni liniowych nad ciałami; w tym modułów/przestrzeni sprzężonych), czy grup z operatorami.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Innymi słowy: niech dane będą funkcje oraz
  2. Kategoria dwukartezjańsko domknięta to kategoria kartezjańsko domknięta (tj. mająca obiekt końcowy oraz produkty i eksponenty dowolnych dwóch obiektów) wyposażona dodatkowo w obiekt początkowy i koprodukt wraz z podanym tu warunkiem rozdzielności produktu względem koproduktu.
  3. Kanonicznym przykładem takiej kategorii jest kategoria zbiorów z iloczynem kartezjańskim i sumą rozłączną pełniących role produktu i koproduktu.
  4. Obserwację tę można przyjąć jako aksjomat w definicji pierścieni, z którego wynikać będzie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
  • Garret Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963.
  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 30.