Liczba Heegnera

Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa $d,$ taka że urojone ciało kwadratowe $Q({\sqrt {-d}})$ ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkład.

Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas. Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb.

Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka.

Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze

Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze

$n^{2}-n+41,$

który daje różne liczby pierwsze dla $n=1,\dots ,40,$ jest związany z liczbą Heegnera $163=4\cdot 41-1.$

Formuła Eulera dla $n$ przyjmującego wartości $n=1,\dots ,40$ jest równoważna z

$n^{2}+n+41,$

dla $n$ przyjmującego wartości $n=0,\dots ,39.$ Rabinowitz udowodnił, że

$n^{2}+n+p$

daje liczby pierwsze dla $n=0,\dots ,p-2,$ wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik $1-4p$ jest równy ujemnej liczbie Heegnera.

Zauważmy, że dla $p-1$ mamy $p^{2},$ więc $p-2$ jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to: $7,11,19,43,67,163,$ dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla $2,3,5,11,17,41;$ te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami Eulera.

Liczby niemal całkowite i stała Ramanujana

Stała Ramanujana jest liczbą przestępną $e^{\pi {\sqrt {163}}},$ która jest niemal całkowita, to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743{,}99999\ 99999\ 9925\dots \approx 640\ 320^{3}+744.$

Liczba ta została odkryta w 1859 przez Charles Hermite’a .

W 1975 w słynnym primaaprilisowym artykule w magazynie „Scientific American” publicysta „Mathematical Games” Martin Gardner podał dla żartu stwierdzenie, że liczba ta w rzeczywistości jest całkowita, a przewidzieć to miał jakoby hinduski genialny matematyk Srinivasa Ramanujan i stąd wzięła się jej nazwa.

Ten zbieg okoliczności wyjaśniono dzięki arytmetyce krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym (ang. complex multiplication) i formie modularnej $j$-niezmiennika.

Szczegóły

Zwięźle ujmując $j((1+{\sqrt {-d}})/2)$ jest całkowite dla $d$ będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną $e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744.$

Jeśli $\tau$ jest kwadratowo niewymierne, wtedy $j$-niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia $|{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|,$ liczba klas $\mathbf {Q} (\tau )$ i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe $\mathbf {Q} (\tau )$ ma liczbę klas równą 1 (więc $d$ jest liczbą Heegnera) $j$-niezmiennik jest liczbą całkowitą.

Forma modularna $j$ w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia $q=\exp(2\pi i\tau )$ zaczyna się następująco:

$j(q)={\frac {1}{q}}+744+196\ 884q+\ldots$

Współczynniki $c_{n}$ asymptotycznie rosną jak $\ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n)),$ a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż $200\ 000^{n},$ więc dla $q\ll 1/200\ 000,$ $j$ jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając $\tau =(1+{\sqrt {-163}})/2$ otrzymujemy $q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})$ lub równoważne ${\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}}).$ Teraz $j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\ 320)^{3},$ więc

$(-640\ 320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)$

lub

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\ 320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),$

gdzie wyrażenie liniowe błędu jest

$-196\ 884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 196\ 884/(640\ 320^{3}+744)\approx -0{,}00000\ 00000\ 0075,$

co wyjaśnia dlaczego $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.

Formuły Pi

Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\ 320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\ 344\ 418k+13\ 591\ 409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\ 320)^{3k}}}$

korzysta z faktu, że $j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640\ 320^{3}.$

Inne liczby Heegnera

Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje są następujące:

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\ 280^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\ 320^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}$

Alternatywnie

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}$

gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera $d<19$ nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet $d=19$ nie jest osobliwe. Całkowite $j$-niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci $12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}.$ Czynnikami są:

${\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\ 320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}\end{aligned}}$

Te liczby przestępne, dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3:

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}$

Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda $\eta (\tau ),$ pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia.

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(-3+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12{,}00006\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(-39+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 0061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(-219+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00003\ 6\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(-26\ 679+2\ 413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00000\ 0000\ 021\dots \end{aligned}}$

Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych $n=3,9,21,231$ oraz fakt, że

${\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-3^{2}+3\cdot 19\cdot 1^{2})=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-39^{2}+3\cdot 43\cdot 7^{2})=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-219^{2}+3\cdot 67\cdot 31^{2})=5280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-26\ 679^{2}+3\cdot 163\cdot 2413^{2})=640\ 320^{2}\end{aligned}}$

z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie $j$-niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00001\ 0\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 0010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 61\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}$

gdzie $x$ są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia

${\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\ 320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}$

z ponownie pojawiającymi się $j$-niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach, ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem $\mathbb {Q} {\sqrt {5}}$ (z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami $\eta$ Dedekinda. Dla przykładu niech $\tau =(1+{\sqrt {-163}})/2,$ wtedy

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}00000\ 00000\ 00001\ 05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}00000\ 00000\ 00000\ 21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}$

gdzie ilorazy $\eta$ są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.

Kolejne liczby pierwsze

Dla danej liczby pierwszej $p$ jeśli obliczymy $k^{2}{\pmod {p}}$ dla $k=0,1,\dots ,(p-1)/2$ (to jest wystarczające, bo $(p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}$), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy $p$ jest liczbą Heegnera.

Bibliografia

• John D. Barrow: The Constants of Nature. Londyn: Jonathan Cape, 2002. ISBN 0-224-06135-6. (ang.).
• John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.).
• Martin Gardner. Mathematical Games. „Scientific American”. 232 (4), kwiecień 1975. Scientific American, Inc. DOI: 10.1038/scientificamerican0475-126. ISSN 0036-8733. (ang.). 
• Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI: 10.1007/BF01174749. (niem.). 
• François Le Lionnais: Les nombres remarquables. Paryż: Hermann, 1983. ISBN 978-2705614072. (fr.).
• Georg Rabinowitz: Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. W: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians. Ernest William Hobson, Augustus Edward Hough Love. T. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1913. OCLC 1401628. (niem.).
• Harold M. Stark. On the „Gap” in the Theorem of Heegner. „Journal of Number Theory”. 1, 1969. DOI: 10.1016/0022-314X(69)90023-7. ISSN 0022-314X. (ang.). 
• Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions. Edytorzy Cristian Popescu, Karl Rubin i Alice Silverberg. Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7. (ang.).