Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne[1].
Niech
będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś
wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała
co zapisujemy
Symbol
oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z
Wyróżnik wielomianu stopnia

to element ciała
(więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)
gdy 
i
gdy
gdzie
to rugownik wielomianu
i jego pochodnej
zaś
jest stopniem pochodnej
Jeżeli
to wielomian
ma pierwiastki wielokrotne[a], i stąd postać drugiej części definicji.
Jeżeli stopień
wielomianu
nie jest wielokrotnością charakterystyki
ciała (na przykład gdy
), to
a wyrażenie
przyjmuje postać
a jeżeli jest wielokrotnością i
to
W pierwszym przypadku rugownik
jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\ldots &1a_{1}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811ccf05701cdb3172f46c434be45059d2170427)
Gdy oznaczymy przez
zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją
a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.
Oznaczmy powyższą macierz przez
Ma ona zawsze stopień
(niezależnie od tego czy
) i zachodzi związek
więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji[2]
określonych tym samym wzorem co wyróżnik.
dla 
W macierzy
najwyższy współczynnik
jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja
jest wielomianem
zmiennych.
Niech
będzie zbiorem wielomianów stopnia
dla
zaś
funkcją przyporządkowującą wielomianowi
jego współczynniki
Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to
jest injekcją. Wobec oczywistej równości

funkcję
również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).
Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na
oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej
choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.
W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera
bez indeksu oznacza wartość funkcji
(lub
) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.
Wielomian
stopnia
ma dokładnie
pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż
).
Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób:
a wtedy
Kwadrat wyznacznika Vandermonda
jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede
wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek
dla
i 
gdzie
jest stopniem pochodnej
Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.
Gdy
to nie istnieje żadna para wskaźników z
(iloczyn po zbiorze pustym), więc
w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian
ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to
Wyróżnik wielomianu stopnia
może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia
Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej
stopnia
aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy
Oznaczmy przez
macierz jednostkową stopnia
Definiujemy macierze
stopnia
dla
i
Gdy oznaczymy współrzędne macierzy
przez
to
dla
zaś pozostałe współrzędne są zerami.
Przykłady
Wszystkie macierze
są symetryczne.
W tym podrozdziale wielomiany stopnia
będziemy zapisywali w postaci
gdzie 
Definiujemy macierze
zależne od współczynników wielomianu stopnia
dla 
Przykłady


Macierze
których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia
zdefiniowane są rekursyjnie.
Niech
Jeżeli już określona jest macierz
to
gdzie
![{\displaystyle L_{n}=\left[{\begin{array}{cccc|c}&&&&-1\\&I_{n-1}&&&0\\&&&&\vdots \\&&&&0\\\hline a_{n-1}&0&\dots &0&0\end{array}}\right],\quad A_{n}^{'}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&0\\&A_{n-1}&&\vdots \\&&&0\\\hline 0&\dots &0&1\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18990c6ab37788892b46108154681ddabb3243a4)
a
jest macierzą stopnia
jak wyżej.
Macierz
(i podobnie
) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.
Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze
są symetryczne.
Dowód: Dla
jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz
jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy
wynika, że
jest symetryczna, czyli
Sprawdźmy, że macierz
jest symetryczna.

Macierz
jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych
z pewnymi współczynnikami. Zatem
jako różnica
macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.
Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.
gdzie
Stąd
Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu
przyjmując
itd., także dla wielomianów wyższych stopni.
Otrzymaliśmy
i możemy wyliczyć macierz
Licząc w ten sposób dalej, dostajemy


Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

Wyróżnik wielomianu stopnia
jest wielomianem jednorodnym stopnia
zależnym od
zmiennych – współczynników wielomianu.
Dla dwóch wielomianów
spełniających
(jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia
Zwykle oznacza się ją
Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.
1. Współrzędne macierzy Bezouta
zależą od współczynników wielomianów
i
i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała
2. Macierz
jest symetryczna.
3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.
W szczególnym przypadku, gdy
(
jest pochodną wielomianu
), macierz Bezouta
oznacza się przez
W myśl powyższych określeń stopień macierzy
więc wielomian
musi być dodatniego stopnia.
Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta
Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla
wielomian miał postać
dla
postać
i podobnie dla wyższych stopni.
Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące:
Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy
do macierzy
co stanowi związek między nimi.
Pomnożenie dowolnej macierzy przez
z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez
jest odbiciem względem antydiagonali.
Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali
może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo
), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.
Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta
wynika, że najwyższy współczynnik
wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy
Wprowadźmy oznaczenie
Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez
a mnożenie z prawej strony mnoży przez
pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez
usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez
czyli

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

Na przykład
![{\displaystyle C_{3}(f)=D_{3}(a^{-1})J_{3,1}B_{3}(f)J_{3,1}D_{3}(a^{-1})=\left[{\begin{smallmatrix}3&2b&c\\2b&2b^{2}-2ac&bc-3ad\\c&bc-3ad&c^{2}-2bd\end{smallmatrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5016279e4d97bc87a0837b29944ccea35a8b83)
Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy
ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy
nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w
Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez
od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez
i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez
i pierwszą kolumnę też przez
Macierz przekształcona jest równa
W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

a dla wierszy jest to macierz
czyli
Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn.

i
Ponieważ
to
więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

Macierz
jest inwolutywna, to znaczy
skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy
przekształca ją z powrotem w
ponieważ

Zatem macierze
i
przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji
Związek pomiędzy macierzą
i macierzą Bezouta
wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

i na odwrót

Choć
nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.
Podsumowanie
1. Macierz
nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta
i natychmiast otrzymać
a następnie obliczyć
2. Dla wielomianu stopnia
istnieją macierze stopnia
których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.
1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1


2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2


3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3


4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4




5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5
W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

Nr |
Znak |
Czynnik |
Jednomian
|
|
Nr |
Znak |
Czynnik |
Jednomian
|
|
Nr |
Znak |
Czynnik |
Jednomian
|
1 |
|
 |
|
21 |
|
 |
|
41 |
|
 |
|
2 |
|
 |
|
22 |
|
 |
|
42 |
|
 |
|
3 |
|
 |
|
23 |
|
 |
|
43 |
|
 |
|
4 |
|
 |
|
24 |
|
 |
|
44 |
|
 |
|
5 |
|
 |
|
25 |
|
 |
|
45 |
|
 |
|
6 |
|
 |
|
26 |
|
 |
|
46 |
|
 |
|
7 |
|
 |
|
27 |
|
 |
|
47 |
|
 |
|
8 |
|
 |
|
28 |
|
 |
|
48 |
|
 |
|
9 |
|
 |
|
29 |
|
 |
|
49 |
|
 |
|
10 |
|
 |
|
30 |
|
 |
|
50 |
|
 |
|
11 |
|
 |
|
31 |
|
 |
|
51 |
|
 |
|
12 |
|
 |
|
32 |
|
 |
|
52 |
|
 |
|
13 |
|
 |
|
33 |
|
 |
|
53 |
|
 |
|
14 |
|
 |
|
34 |
|
 |
|
54 |
|
 |
|
15 |
|
 |
|
35 |
|
 |
|
55 |
|
 |
|
16 |
|
 |
|
36 |
|
 |
|
56 |
|
 |
|
17 |
|
 |
|
37 |
|
 |
|
57 |
|
 |
|
18 |
|
 |
|
38 |
|
 |
|
58 |
|
 |
|
19 |
|
 |
|
39 |
|
 |
|
59 |
|
 |
|
20 |
|
 |
|
40 |
|
 |
|
6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

Nr |
Z |
Czyn |
Jednom
|
|
Nr |
Z |
Czyn |
Jednom
|
|
Nr |
Z |
Czyn |
Jednom
|
|
Nr |
Z |
Czyn |
Jednom
|
|
Nr |
Z |
Czyn |
Jednom
|
1
|
|
|
|
51
|
|
|
|
101
|
|
|
|
151
|
|
|
|
201
|
|
|
|
2
|
|
|
|
52
|
|
|
|
102
|
|
|
|
152
|
|
|
|
202
|
|
|
|
3
|
|
|
|
53
|
|
|
|
103
|
|
|
|
153
|
|
|
|
203
|
|
|
|
4
|
|
|
|
54
|
|
|
|
104
|
|
|
|
154
|
|
|
|
204
|
|
|
|
5
|
|
|
|
55
|
|
|
|
105
|
|
|
|
155
|
|
|
|
205
|
|
|
|
6
|
|
|
|
56
|
|
|
|
106
|
|
|
|
156
|
|
|
|
206
|
|
|
|
7
|
|
|
|
57
|
|
|
|
107
|
|
|
|
157
|
|
|
|
207
|
|
|
|
8
|
|
|
|
58
|
|
|
|
108
|
|
|
|
158
|
|
|
|
208
|
|
|
|
9
|
|
|
|
59
|
|
|
|
109
|
|
|
|
159
|
|
|
|
209
|
|
|
|
10
|
|
|
|
60
|
|
|
|
110
|
|
|
|
160
|
|
|
|
210
|
|
|
|
11
|
|
|
|
61
|
|
|
|
111
|
|
|
|
161
|
|
|
|
211
|
|
|
|
12
|
|
|
|
62
|
|
|
|
112
|
|
|
|
162
|
|
|
|
212
|
|
|
|
13
|
|
|
|
63
|
|
|
|
113
|
|
|
|
163
|
|
|
|
213
|
|
|
|
14
|
|
|
|
64
|
|
|
|
114
|
|
|
|
164
|
|
|
|
214
|
|
|
|
15
|
|
|
|
65
|
|
|
|
115
|
|
|
|
165
|
|
|
|
215
|
|
|
|
16
|
|
|
|
66
|
|
|
|
116
|
|
|
|
166
|
|
|
|
216
|
|
|
|
17
|
|
|
|
67
|
|
|
|
117
|
|
|
|
167
|
|
|
|
217
|
|
|
|
18
|
|
|
|
68
|
|
|
|
118
|
|
|
|
168
|
|
|
|
218
|
|
|
|
19
|
|
|
|
69
|
|
|
|
119
|
|
|
|
169
|
|
|
|
219
|
|
|
|
20
|
|
|
|
70
|
|
|
|
120
|
|
|
|
170
|
|
|
|
220
|
|
|
|
21
|
|
|
|
71
|
|
|
|
121
|
|
|
|
171
|
|
|
|
221
|
|
|
|
22
|
|
|
|
72
|
|
|
|
122
|
|
|
|
172
|
|
|
|
222
|
|
|
|
23
|
|
|
|
73
|
|
|
|
123
|
|
|
|
173
|
|
|
|
223
|
|
|
|
24
|
|
|
|
74
|
|
|
|
124
|
|
|
|
174
|
|
|
|
224
|
|
|
|
25
|
|
|
|
75
|
|
|
|
125
|
|
|
|
175
|
|
|
|
225
|
|
|
|
26
|
|
|
|
76
|
|
|
|
126
|
|
|
|
176
|
|
|
|
226
|
|
|
|
27
|
|
|
|
77
|
|
|
|
127
|
|
|
|
177
|
|
|
|
227
|
|
|
|
28
|
|
|
|
78
|
|
|
|
128
|
|
|
|
178
|
|
|
|
228
|
|
|
|
29
|
|
|
|
79
|
|
|
|
129
|
|
|
|
179
|
|
|
|
229
|
|
|
|
30
|
|
|
|
80
|
|
|
|
130
|
|
|
|
180
|
|
|
|
230
|
|
|
|
31
|
|
|
|
81
|
|
|
|
131
|
|
|
|
181
|
|
|
|
231
|
|
|
|
32
|
|
|
|
82
|
|
|
|
132
|
|
|
|
182
|
|
|
|
232
|
|
|
|
33
|
|
|
|
83
|
|
|
|
133
|
|
|
|
183
|
|
|
|
233
|
|
|
|
34
|
|
|
|
84
|
|
|
|
134
|
|
|
|
184
|
|
|
|
234
|
|
|
|
35
|
|
|
|
85
|
|
|
|
135
|
|
|
|
185
|
|
|
|
235
|
|
|
|
36
|
|
|
|
86
|
|
|
|
136
|
|
|
|
186
|
|
|
|
236
|
|
|
|
37
|
|
|
|
87
|
|
|
|
137
|
|
|
|
187
|
|
|
|
237
|
|
|
|
38
|
|
|
|
88
|
|
|
|
138
|
|
|
|
188
|
|
|
|
238
|
|
|
|
39
|
|
|
|
89
|
|
|
|
139
|
|
|
|
189
|
|
|
|
239
|
|
|
|
40
|
|
|
|
90
|
|
|
|
140
|
|
|
|
190
|
|
|
|
240
|
|
|
|
41
|
|
|
|
91
|
|
|
|
141
|
|
|
|
191
|
|
|
|
241
|
|
|
|
42
|
|
|
|
92
|
|
|
|
142
|
|
|
|
192
|
|
|
|
242
|
|
|
|
43
|
|
|
|
93
|
|
|
|
143
|
|
|
|
193
|
|
|
|
243
|
|
|
|
44
|
|
|
|
94
|
|
|
|
144
|
|
|
|
194
|
|
|
|
244
|
|
|
|
45
|
|
|
|
95
|
|
|
|
145
|
|
|
|
195
|
|
|
|
245
|
|
|
|
46
|
|
|
|
96
|
|
|
|
146
|
|
|
|
196
|
|
|
|
246
|
|
|
|
47
|
|
|
|
97
|
|
|
|
147
|
|
|
|
197
|
|
|
|
48
|
|
|
|
98
|
|
|
|
148
|
|
|
|
198
|
|
|
|
49
|
|
|
|
99
|
|
|
|
149
|
|
|
|
199
|
|
|
|
50
|
|
|
|
100
|
|
|
|
150
|
|
|
|
200
|
|
|
|
Wyróżnikiem trójmianu
jest[b]

Gdy przyjmiemy
to otrzymamy przypadek szczególny dla dwumianu
Jako przypadek szczególny wzoru prawdziwego dla
jest on spełniony dla tych
ale nie ma pewności, że także dla
Bezpośrednio sprawdzamy, że pozostaje w mocy dla
dla 
Gdy zaś przyjmiemy
to otrzymamy drugi przypadek szczególny dla dwumianu


dla 
Ten wynik można otrzymać prościej, korzystając ze wzoru redukcyjnego (patrz następny rozdział) i poprzedniego wyróżnika.

Pierwszy wzór na liście ma uogólnienie na dowolny trójmian znalezione przez R.G. Swana (1962)[3][4].
Niech
i niech
[c],
Wtedy

Można oznaczyć dodatkowo
by wzór miał bardziej zwartą postać

Dowolny trójmian jednej zmiennej ma postać
gdzie
Jeżeli
to jego wyróżnik jest równy zeru (pierwiastek wielokrotny
), jeżeli
to stosuje się ostatni wzór z listy, a jeżeli
to można zastosować wzór redukcyjny
i ostatni wyróżnik obliczyć ze wzoru Swana. Znane są zatem ogólne wzory na wyróżnik dowolnego trójmianu i dowolnego dwumianu. Przypadek jednomianu jest trywialny, choć jednomian nie może być dowolny, bo dla stopnia 0 wyróżnik nie jest zdefiniowany.
Niech
będzie macierzą
w której
i podobnie dla
W macierzy
nie występuje wyraz wolny
więc pozostaje ona bez zmian, zaś
co wynika wprost z definicji macierzy
Stąd dostajemy

Ponieważ
to

Przeto
dla 
Bardziej znany jest inny dowód[d] tej zależności, w którym nie korzysta się z definicji rekursyjnej.
Przykład
Wyróżnik
wielomianu 4 stopnia ma 16 składników. Gdy przyjąć w nim
to pozostanie tylko 5 składników, a po wyciągnięciu
przed nawias, w nawiasie otrzymamy wyróżnik
wielomianu 3 stopnia.
Zachodzi też równość do pewnego stopnia symetryczna względem powyższej. Gdy do wyróżnika
podstawimy
to nie otrzymamy wyróżnika żadnego wielomianu, bo wszystkie rozważania prowadzone są przy założeniu, że wielomian jest stopnia
to znaczy z
Tym niemniej, rozpatrując ten wyróżnik jako pewien wielomian zależny od
zmiennych, można przyjąć w nim
i rozważyć czym jest otrzymane wyrażenie. Okazuje się, że przy założeniu
spełniona jest równość
dla 
gdzie
jest wyróżnikiem wielomianu
stopnia
Poniżej przedstawiony jest tylko przykładowy dowód dla przypadku szczególnego
gdyż uogólnienie na dowolne
jest oczywiste, choć nieco uciążliwe w zapisie.
Dowód: Wyróżnikiem wielomianu
stopnia 3 jest z definicji
W tej postaci, ze skróconym wyrazem
w mianowniku, możliwe jest już podstawienie w macierzy
więc otrzymujemy
Z drugiej strony, dla wielomianu
gdzie
mamy z definicji
Zatem
Dowód ogólny przebiega analogicznie.
Przykład
Przedstawiona zależność jest wyraźnie widoczna, gdy wyróżniki są uporządkowane leksykograficznie, bo wtedy wszystkie składniki, w których występuje najwyższy współczynnik
znajdują się na początku, a te w których nie występuje – na końcu. W tabeli z wyróżnikiem wielomianu 5 stopnia składniki od 44 do 59, po podzieleniu każdego z nich przez
utworzą wyróżnik wielomianu
Widoczne jest, że wszystkie współczynniki są dokładnie współczynnikami wyróżnika wielomianu 4 stopnia i są wypisane w tej samej kolejności.
Przy bardziej naturalnym indeksowaniu współczynników wielomianu pierwsza zależność ma postać
Może być także zapisana równoważnie w postaci wzoru redukcyjnego
dla 
lub
dla
Podobny zapis w postaci wzoru redukcyjnego dla drugiej zależności nie jest możliwy.
W tych własnościach
oznacza zawsze stopień odpowiedniego wielomianu, o ile występuje w danej równości.
Własności ogólne
- Gdy
jest rozszerzeniem ciała
i
to także
a wyróżnik nie zależy od ciała, nad którym rozpatrywany jest wielomian
to znaczy
Ta niezmienniczość względem rozszerzeń ciała
wynika stąd, że wyróżnik zależy tylko od stopnia i współczynników wielomianu.
wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
ma pierwiastki wielokrotne
dla
– rugownik
dla 
Własności przy zamianie zmiennej

dla 
Ponieważ
to dwie ostatnie własności można zapisać jako jedną ogólniejszą.
dla 
Własność 2, nazywana powyżej podstawową, decyduje o najczęstszych zastosowaniach wyróżnika. Własności od 2 do 6 łatwo wynikają z drugiej definicji z wyznacznikiem Vandermonda.
Wielomian
stopnia 1, nad dowolnym ciałem
ma zawsze pierwiastek
i ten jedyny pierwiastek należy do ciała
Wielomian
stopnia 2 nad ciałem
o charakterystyce różnej od 2 (na przykład nad ciałem liczbowym) ma pierwiastki w
wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele
Jeżeli jest kwadratem, to pierwiastki wyrażają się dobrze znanym wzorem
a jeżeli nie jest, to wielomian jest nierozkładalny[e] w
Dowód tego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu dla ciała liczb rzeczywistych – przez wydzielenie z trójmianu pełnego kwadratu[5].
Jeśli
jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w
gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już w ciele liczb wymiernych
jest inaczej: trójmian
ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik
jest kwadratem w ciele
trójmian
ma dodatni wyróżnik
więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.
Gdy charakterystyka ciała
to
bo w takich ciałach
Zatem wyróżnik jest zawsze kwadratem[f], a mianowicie elementu
bo
Można jednak wskazać trójmian kwadratowy, który nie ma pierwiastków w
co wyjaśnia założenie o charakterystyce w powyższym twierdzeniu.
Oczywiście do sprawdzenia krotności pierwiastków wciąż można (jak zawsze) posłużyć się wyróżnikiem. Wielomian
jak wyżej, ma jeden pierwiastek dwukrotny wtedy i tylko wtedy, gdy
W przypadku ciała skończonego pierwiastek dwukrotny jest elementem tego ciała.
W tym podrozdziale stale obowiązuje założenie, że wielomian
jest nad ciałem liczb rzeczywistych, czyli
Domknięciem algebraicznym ciała
jest ciało liczb zespolonych
więc każdy wielomian ma wszystkie pierwiastki w
Wielomianami nierozkładalnymi w
mogą być jedynie wielomiany 1 i 2 stopnia, więc każdy wielomian
dodatniego stopnia rozkłada się w
na iloczyn wielomianów nierozkładalnych co najwyżej 2 stopnia. Jeżeli pewien czynnik w rozkładzie ma stopień 2, to jego dwa pierwiastki w ciele
są wzajemnie sprzężonymi liczbami zespolonymi, oczywiście nie rzeczywistymi. Zatem wszystkie pierwiastki nie rzeczywiste wielomianu, o ile takie istnieją, występują w parach sprzężonych. W przypadku gdy pierwiastek pary ma krotność większą niż 1, to także sprzężony z nim w parze ma tę samą krotność, więc można mówić o krotności całej pary pierwiastków.
Z wartości wyróżnika wielomianu można uzyskać pewną informację jakościową o pierwiastkach, tzn. o liczbie pierwiastków rzeczywistych, liczbie par zespolonych, ich krotnościach, bez obliczania tych pierwiastków. Jednak informacja otrzymana z samej wartości wyróżnika jest tym bardziej niekompletna, im większy jest stopień wielomianu. Do dokładnego rozpoznania potrzebne są inne metody.
Niech
oznacza liczbę par nie rzeczywistych pierwiastków sprzężonych wielomianu
z uwzględnieniem krotności par. Zachodzi ogólne twierdzenie dla wielomianów dowolnego stopnia dodatniego.
Jeżeli
to
jest liczbą parzystą (dopuszczalne 0), a jeżeli
to
jest liczbą nieparzystą.
Założenia tego twierdzenia wykluczają pierwiastki wielokrotne.
Poniżej przedstawione są wnioski dla szczególnych przypadków niskich stopni. Stopień 2, omówiony już w poprzednim podrozdziale, został także włączony dla kompletności.
Stopień 2
– 2 różne pierwiastki rzeczywiste
– 1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny
– 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych
Stopień 3
– 3 różne pierwiastki rzeczywiste
– 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny
– 1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych
Stopień 4
– 4 różne pierwiastki rzeczywiste lub 2 pary pierwiastków zespolonych sprzężonych
– 3 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste oba dwukrotne lub
2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 trzykrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty czterokrotny lub
1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny i 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
lub 1 para dwukrotna pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
– 2 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych
Stopień 5
– 5 różnych pierwiastków rzeczywistych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 pary pierwiastków zespolonych
sprzężonych
– 6 przypadków z pierwiastkami tylko rzeczywistymi lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny i
1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny i 1 para
pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para dwukrotna
pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
– 3 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych
We wzorach na wyróżniki, a także w innych wzorach, występują współczynniki całkowite. Oznaczają one sumę odpowiedniej liczby jedynek ciała
tzn.
(
jedynek). Jeżeli
to pewne sumy jedynek zerują się. Gdy
to
Dlatego te współczynniki trzeba redukować modulo
Na przykład wyróżnik
upraszcza się w tym przypadku następująco:
i podobnie w innych przypadkach.
Przykład 1
Niech
Zbadajmy jakiego rodzaju są pierwiastki tego wielomianu. Można posłużyć się pełnym wyróżnikiem zamieszczonym w tabeli powyżej, ale wygodniej skorzystać z gotowego wzoru.
więc
Stąd wnioskujemy, że wielomian
ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste i jedną parę pierwiastków zespolonych sprzężonych. Ten wynik można otrzymać także innymi sposobami, ale zastosowanie wyróżnika jest najszybsze.
Przykład 2
Wypiszmy wszystkie wielomiany 2 stopnia nad ciałem
Każdy niezerowy wielomian w
jest moniczny, więc są one postaci
gdzie
i
mogą przybierać wartości 0 lub 1. Są więc 4 takie wielomiany.

Ostatnia równość wynika stąd, że
dla każdego
Zatem
i
Istotnie,
ma pierwiastek dwukrotny
(bo
), więc
ma pierwiastek dwukrotny
Natomiast
więc
ma dwa różne pierwiastki
i
Przez bezpośrednie podstawienie przekonujemy się, że wielomian
nie ma pierwiastków w
Aby sprawdzić, że w swoim ciele rozkładu (jest nim
) ma dwa różne pierwiastki, obliczmy pochodną
Wielomian
nie ma wspólnego pierwiastka ze swą pochodną (bo ona w ogóle nie ma pierwiastków), więc nie ma pierwiastka dwukrotnego w
Ten przykład jest ilustracją uniwersalności wyróżnika. Metody stosowane w przypadku charakterystyki 2 mają własną specyfikę i różnią się znacznie od metod dla innych charakterystyk, ale wyróżnik jest na to niewrażliwy i daje zawsze właściwe wyniki niezależnie od charakterystyki ciała.
Następny przykład dotyczy ciała
więc przydatne mogą być najbardziej podstawowe wiadomości o tym ciele przedstawione poniżej[6]. Są one wystarczające, by snadnie wykonywać rachunki arytmetyczne w
Ciało
zawiera ciało proste
i jest jego rozszerzeniem 2 stopnia. Może być otrzymane przez dołączenie pierwiastka monicznego wielomianu nierozkładalnego 2 stopnia z
Wybierzmy wielomian
(nierozkładalny, bo nie ma pierwiastka w
). Jego pierwiastek
spełnia więc równanie
Nazwijmy go raczej
– przecież dołączyliśmy pierwiastek z
Każdy element ciała
jako przestrzeni liniowej nad
wymiaru 2 z bazą
ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
gdzie
Te elementy dodajemy i mnożymy w zwykły sposób, z tym tylko, że
zastępujemy wszędzie przez
Jest to bardzo podobne do działań na liczbach zespolonych, z tą różnicą, że działania arytmetyczne na współczynnikach
i
odbywają się według zasad obowiązujących w małym ciele
Jego elementami są
i
ale wygodnie jest stosować w zapisie
i
bo
Znajdźmy dla przykładu element odwrotny do

Przykład 3
Sprawdźmy, czy wielomian
ma pierwiastki w
i jeśli tak, to obliczmy je.
W grupie multyplikatywnej
są 4 kwadraty, więc wypiszmy je, podnosząc do kwadratu elementy każdej z 4 par elementów wzajemnie przeciwnych[g]




Zatem kwadratami są prawe strony tych równości:
a w całym
jeszcze
To umożliwia już zastosowanie wzorów na pierwiastki.


Otrzymane wzory na wyróżnik i pierwiastki

stosują się w każdym ciele o charakterystyce 3 (także nieskończonym).
Dla danego wielomianu mamy
skąd wnioskujemy, że ma on pierwiastki w
bo
jest kwadratem. Jako pierwiastek arytmetyczny z wyróżnika weźmy dowolny z pary, np.

i otrzymujemy rozkład wielomianu:
Ten przykład przedstawia jedno z zastosowań wyróżnika. Droga do rozwiązania równania kwadratowego wiedzie poprzez obliczenie odpowiedniego wyróżnika i znalezienie jego pierwiastka arytmetycznego.
Przykład 4
Wypiszmy dla wygody rachunków wzór na wyróżnik trójmianu

gdzie
i obliczmy wyróżnik trójmianu
Mamy tutaj
więc

Możemy też skorzystać z pełnego wyróżnika w tabeli z wyróżnikiem wielomianu 6 stopnia. Dostosujmy oznaczenia współczynników danego wielomianu do oznaczeń w tabeli (nie odwrotnie!).
Po odrzuceniu składników, w których występuje współczynnik
lub
pozostają tylko 4 składniki o numerach porządkowych 1, 5, 37 i 107, a wynik jest identyczny.
- ↑ Jeżeli spełniony jest warunek
to
ma rzeczywiście pierwiastki wielokrotne, co wynika z następującego twierdzenia.
Jeżeli
jest ciałem,
i
jest pierwiastkiem wielomianu
(w jego ciele rozkładu), to
jest pierwiastkiem wielokrotnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem pochodnej
Dowód: Niech
będzie krotnością pierwiastka
Wtedy
dla pewnego wielomianu
Obliczmy pochodną
Stąd
Na odwrót, ponieważ
to
dla pewnego wielomianu
Pochodną jest
Tym razem
z założenia, więc
skąd
dla pewnego wielomianu
Wstawiając to do wyrażenia na
dostajemy
Ale
więc
skąd wynika, że
i pierwiastek
ma w wielomianie
krotność
więc jest wielokrotny.
Z tego twierdzenia wynika, że gdy wielomian dodatniego stopnia ma zerową pochodną, to każdy jego pierwiastek jest wielokrotny, bo jest pierwiastkiem wielomianu zerowego (nawet każdy element każdego rozszerzenia ciała
jest pierwiastkiem wielomianu zerowego, z definicji pierwiastka, lecz nie ma on żadnej krotności w wielomianie zerowym).
- ↑ Wprawdzie pierwszy wzór na liście jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru dla trójmianu, lecz można go znaleźć niezależnie, korzystając z rekursyjnej definicji macierzy
(patrz rozdz. „Obliczanie wyróżnika”).
Plan dowodu:
Musimy znać postać macierzy
dla danego wielomianu, by obliczyć jej wyznacznik. Temu celowi służą trzy pierwsze kroki dowodu.
Krok 1. Dowodzimy indukcyjnie, że macierz
wielomianu
dla
ma taką postać, że element w 1 kolumnie i 1 wierszu jest równy
a pozostałe są zerami.
Krok 2. Przechodzimy rekursyjnie od znanej już macierzy
wielomianu
do macierzy
wielomianu
dla
Tutaj nie stosujemy już indukcji, lecz tylko jedno równanie rekursji dla dowolnego, ale ustalonego
Macierz ma postać jak niżej (z lewej). W pozycjach nie wypełnionych są zera.
![{\displaystyle A_{n}=\left[{\begin{smallmatrix}n&&&0\\&&&-na_{0}a_{n}\\&&\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot }}&\\0&-na_{0}a_{n}&&\end{smallmatrix}}\right],\qquad A_{n}=\left[{\begin{smallmatrix}n\qquad &&&&(n-1)a_{n-1}\\&&&(1-n)a_{0}a_{n-1}&-na_{0}a_{n}\\&&\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot }}&&\\&(1-n)a_{0}a_{n-1}&&\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot ^{\ \,\scriptstyle \cdot }}\qquad &\\(n-1)a_{n-1}&-na_{0}a_{n}&&&(n-1)a_{n-1}^{2}\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3854006c6aad015c791aa54fa93c0c15e4948b9b)
Krok 3. Znając już macierz
wielomianu
znajdujemy z równania rekursji (podobnie jak w drugim kroku) macierz
wielomianu
dla
Ma ona postać jak wyżej (z prawej). Na antydiagonali są wyrazy
z wyjątkiem jej końców o wyrazach
a na pierwszej poddiagonali antydiagonali są tylko wyrazy
Krok 4. Przed obliczeniem wyznacznika wygodnie jest zmienić oznaczenia
na
odpowiednio, gdyż rachunki są wtedy czytelniejsze. Obliczenie wyznacznika nie sprawia trudności, a wynikiem jest szukany wyróżnik dla
Krok 5. Sprawdzamy bezpośrednio, że wzór pozostaje w mocy dla
- ↑ Zapis
jest bardzo często stosowanym skróconym oznaczeniem dla
W tej konwencji zamiast
pisze się
- ↑ Ta zależność może być również otrzymana ze wzoru na wyróżnik iloczynu (patrz rozdz. „Własności”).
Rugownik obliczymy jako wyznacznik macierzy Sylvestera (stopnia
). Ma ona w ostatniej kolumnie same zera z wyjątkiem pierwszego elementu równego
Rozwinięcie wyznacznika względem ostatniej kolumny prowadzi od razu do
Zatem
- ↑ W pierścieniu wielomianów nad ciałem pojęcia „wielomian nieprzywiedlny” i „wielomian nierozkładalny” są tożsame. Różnica pojawia się w pierścieniu wielomianów nad taką dziedziną całkowitości, która nie jest ciałem. Wtedy każdy wielomian nierozkładalny jest nieprzywiedlny, ale niekoniecznie na odwrót. Wielomian nieprzywiedlny może być rozkładalny.
W pierścieniu wielomianów nad ciałem jest jeszcze jedno pojęcie równoważne dwóm poprzednim: „wielomian pierwszy”. W dziedzinie całkowitości element pierwszy jest nierozkładalny, ale niekoniecznie na odwrót. Jeżeli pierścień jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu (więc z definicji dziedziną całkowitości), to także każdy element nierozkładalny jest pierwszy. Pierścień wielomianów nad ciałem jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, skąd już wynika równoważność ostatniego pojęcia z dwoma poprzednimi.
Powyższe uwagi stosują się zarówno do wielomianów jednej zmiennej, jak też wielu zmiennych – bez zmiany argumentacji.
Można więc używać dowolnego z tych trzech synonimów według potrzeb lub uznania, o ile rozważane są wielomiany nad ciałami. Każdy wybór jest poprawny. W polskiej literaturze najczęściej używany jest drugi, rzadziej pierwszy, a najmniej spotykany jest trzeci, choć i to się zdarza.
- ↑ Jeżeli ciało o charakterystyce 2 jest skończone, to nawet każdy element jest kwadratem dokładnie jednego elementu tego ciała. Innymi słowy każdy element ma jeden pierwiastek 2 stopnia.
- ↑ Niech
będzie ciałem skończonym o charakterystyce różnej od 2. Jeżeli pewien element
w grupie mutyplikatywnej
tego ciała jest kwadratem elementu
czyli
to także
Ponieważ
i
to
Stąd wynika, że jeżeli
jest kwadratem, to ma dokładnie dwa pierwiastki drugiego stopnia, gdyż równanie
nie może mieć więcej niż dwa rozwiązania. Pierwiastki tworzą parę elementów wzajemnie przeciwnych. Kwadraty w
stanowią więc dokładnie połowę elementów tej grupy, bo jest ich tyle, ile jest par elementów wzajemnie przeciwnych, czyli
- ↑ wyróżnik równania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-09-09] .
- ↑ Vinberg 2003 ↓, s. 124.
- ↑ Prasolov 2004 ↓, s. 26.
- ↑ Richard G.R.G. Swan Richard G.R.G., Factorization of Polynomials over Finite Fields, „Pacific Journal of Mathematics”, 12, 1962, s. 1099–1106 (ang.).
- ↑ Fine, Gaglione i Rosenberger 2014 ↓, s. 401–402.
- ↑ Koblitz 1995 ↓, s. 57.
- Ernest BorisovichE.B. Vinberg Ernest BorisovichE.B., A Course in Algebra, AlexanderA. Retakh (tłum.), tom 56, Providence, Rhode Islands: American Mathematical Society, 2003 (Graduate Studies in Mathematics), ISBN 0-8218-3318-9, ISSN 1065-7339 (ang.).
- Victor Vasilevich Prasolov: Polynomials. T. 11. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2004, seria: Algorithms and Computation in Mathematics. DOI: 10.1007/978-3-642-03980-5. ISBN 978-3-540-40714-0. LCCN 2009935697. ISSN 1431-1550. (ang.).
- Benjamin Fine, Anthony M. Gaglione, Gerhard Rosenberger: Introduction to Abstract Algebra: From Rings, Numbers, Groups, and Fields to Polynomials and Galois Theory. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2014. ISBN 978-1-4214-1176-7. LCCN 2013937859. (ang.).
- Neal Koblitz: Wykład z teorii liczb i kryptografii. z ang. tłumaczył prof. Wojciech Guzicki, UW. Wyd. 2 ang.,1 pol. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995. ISBN 83-204-1836-4.
- MichałM. Miśkiewicz MichałM., Po co nam ∆?, „Delta”, czerwiec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] .
Przemysław Koprowski, Wyróżnik, kanał autorski na YouTube, 12 maja 2021 [dostęp 2024-06-22].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Discriminant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
Discriminant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].