Wyróżnik wielomianu

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś $p$ wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała $K,$ co zapisujemy $p\in K[x].$ Symbol $K[x]$ oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z $K.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n\geqslant 1$

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0},$

to element ciała $K$ (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

$D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n-k-2}R(p,p'),\quad {}$ gdy $p'\neq 0$

i ${}\ \ \ D(p)=0,\quad {}$ gdy $p'=0,$

gdzie $R(p,p')$ to rugownik wielomianu $p$ i jego pochodnej $p',$ zaś $k$ jest stopniem pochodnej $p'.$

Jeżeli $p'=0,$ to wielomian $p$ ma pierwiastki wielokrotne, i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień $n$ wielomianu $p$ nie jest wielokrotnością charakterystyki $\chi (K)$ ciała (na przykład gdy $\chi (K)=0$), to $k=n-1,$ a wyrażenie $a_{n}^{n-k-2}R(p,p')$ przyjmuje postać $a_{n}^{-1}R(p,p'),$ a jeżeli jest wielokrotnością i $p'\neq 0,$ to $k<n-1.$

W pierwszym przypadku rugownik $R(p,p')$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia $2n-1{:}$

$\left[{\begin{matrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\ldots &1a_{1}\end{matrix}}\right].$

Gdy oznaczymy przez $P\subset K[x]$ zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją $D\colon P\to K,$ a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez $M_{n}.$ Ma ona zawsze stopień $2n-1$ (niezależnie od tego czy $k<n-1$) i zachodzi związek $\det M_{n}=a_{n}^{n-k-1}R(p,p'),$ więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

$D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}.$

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji $\Delta _{n}\colon K^{n+1}\to K$ określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

$\Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}\quad {}$ dla $n\geqslant 1.$

W macierzy $M_{n}$ najwyższy współczynnik $a_{n}$ jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja $\Delta _{n}$ jest wielomianem $n+1$ zmiennych.

Niech $P_{n}\subset P$ będzie zbiorem wielomianów stopnia $n$ dla $n\geqslant 1,$ zaś $\lambda _{n}\colon P_{n}\to K^{n+1}$ funkcją przyporządkowującą wielomianowi $p$ jego współczynniki $(a_{n},\dots ,a_{0}).$ Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to $\lambda _{n}$ jest injekcją. Wobec oczywistej równości

$D|P_{n}=\Delta _{n}\circ \lambda _{n},$

funkcję $\Delta _{n}$ również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na $\Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0}),$ oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej $p',$ choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera $\Delta$ bez indeksu oznacza wartość funkcji $\Delta _{2}$ (lub $\Delta _{3}$) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Zależność od pierwiastków wielomianu

Wielomian $p$ stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż $K$).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},$ a wtedy $p(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).$

Kwadrat wyznacznika Vandermonda $V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

$V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

$R(p,p')=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n+k}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad {}$ dla $n\geqslant 1$ i $k\geqslant 0,$

gdzie $k$ jest stopniem pochodnej $p'.$

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

$D(p)=a_{n}^{2n-2}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy $n=1,$ to nie istnieje żadna para wskaźników z $i<j$ (iloczyn po zbiorze pustym), więc $D(p)=a_{1}^{0}\cdot 1=1$ w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian $f\in \mathbb {R} [x]$ ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to $D(f)\geqslant 0.$

Obliczanie wyróżnika

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia $2n-1.$ Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej $A_{n}$ stopnia $n,$ aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy $A_{n}.$

Oznaczenia i definicje pomocnicze

Oznaczmy przez $I_{n}$ macierz jednostkową stopnia $n.$ Definiujemy macierze $J_{n,k}$ stopnia $n$ dla $n\geqslant 1$ i $1\leqslant k\leqslant n.$ Gdy oznaczymy współrzędne macierzy $J_{n,k}$ przez $c_{i,j},$ to $c_{n-i,k+i}=1$ dla $i=0,\dots ,n-k,$ zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady $J_{1,1}=\left[{\begin{smallmatrix}1\end{smallmatrix}}\right]=I_{1},\quad J_{2,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{2,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad {}$ $J_{4,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{4,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right].$

Wszystkie macierze $J_{n,k}$ są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia $n$ będziemy zapisywali w postaci

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n},$   gdzie $a_{0}\neq 0.$

Definiujemy macierze $B_{n}$ zależne od współczynników wielomianu stopnia $n.$

$B_{n}=a_{n}\sum _{k=0}^{n-2}(n-k)a_{k}J_{n,k+2}$   dla $n\geqslant 2.$

Przykłady

$B_{2}=a_{2}\sum _{k=0}^{0}(2-k)a_{k}J_{2,k+2}=a_{2}(2a_{0}J_{2,2})=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}$

$B_{3}=a_{3}\sum _{k=0}^{1}(3-k)a_{k}J_{3,k+2}=a_{3}(3a_{0}J_{3,2}+2a_{1}J_{3,3})=a_{3}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3a_{0}\\0&3a_{0}&2a_{1}\end{bmatrix}}.$

Definicja rekursyjna

Macierze $A_{n},$ których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia $n$ zdefiniowane są rekursyjnie. Niech $A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}.$ Jeżeli już określona jest macierz $A_{n-1},$ to $A_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }-B_{n},$ gdzie

$L_{n}=\left[{\begin{array}{cccc|c}&&&&-1\\&I_{n-1}&&&0\\&&&&\vdots \\&&&&0\\\hline a_{n-1}&0&\dots &0&0\end{array}}\right],\quad A_{n}^{'}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&0\\&A_{n-1}&&\vdots \\&&&0\\\hline 0&\dots &0&1\end{array}}\right],$

a $B_{n}$ jest macierzą stopnia $n$ jak wyżej.

Macierz $A_{n-1}$ (i podobnie $I_{n-1}$) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze $A_{n}$ są symetryczne.

Dowód: Dla $n=1$ jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz $A_{n-1}$ jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy $A_{n}^{'}$ wynika, że $A_{n}^{'}$ jest symetryczna, czyli $A_{n}^{'\operatorname {T} }=A_{n}^{'}.$

Sprawdźmy, że macierz $C_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }$ jest symetryczna.

$C_{n}^{\operatorname {T} }=(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }=(L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }A_{n}^{'\operatorname {T} }L_{n}^{\operatorname {T} }=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }=C_{n}.$

Macierz $B_{n}$ jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych $J_{n,k}$ z pewnymi współczynnikami. Zatem $A_{n},$ jako różnica $C_{n}-B_{n}$ macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykłady

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

$A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$   $A_{2}=L_{2}A_{2}^{'}L_{2}^{\operatorname {T} }-B_{2},$

gdzie $A_{2}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I_{2},\quad L_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}},\quad B_{2}=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}.$

Stąd $A_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}}I_{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}\\-1&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&a_{1}\\a_{1}&a_{1}^{2}-2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}.$

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu $f(x)=a_{0}x^{2}+a_{1}x+a_{2},$ przyjmując $a_{0}=a,\ a_{1}=b,\ a_{2}=c,\dots$ itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy $A_{2}={\begin{bmatrix}2&b\\b&b^{2}-2ac\end{bmatrix}}$

i możemy wyliczyć macierz $A_{3}=L_{3}A_{3}^{'}L_{3}^{\operatorname {T} }-B_{3}.$

$A_{3}={\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\c&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&b&0\\b&b^{2}-2ac&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3ad\\0&3ad&2bd\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&b&2c\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd\end{bmatrix}}.$

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

$A_{4}={\begin{bmatrix}4&b&2c&3d\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be\\3d&bd-4ae&2cd-3be&3d^{2}-2ce\end{bmatrix}},$

$A_{5}={\begin{bmatrix}5&b&2c&3d&4e\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae&be-5af\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be-5af&2ce-4bf\\3d&bd-4ae&2cd-3be-5af&3d^{2}-2ce-4bf&3de-3cf\\4e&be-5af&2ce-4bf&3de-3cf&4e^{2}-2df\end{bmatrix}}.$

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

$\Delta _{1}(a,b)=\det A_{1},\quad \Delta _{2}(a,b,c)=\det A_{2},\;\dots \;,\;\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=\det A_{5}.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ jest wielomianem jednorodnym stopnia $2n-2$ zależnym od $n+1$ zmiennych – współczynników wielomianu.

Związek z macierzą Bezouta

Dla dwóch wielomianów $f,g\in K[x]$ spełniających $n=\max(\deg(f),\deg(g))\geqslant 1$ (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia $n.$ Zwykle oznacza się ją $B_{n}(f,g).$ Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f,g)$ zależą od współczynników wielomianów $f$ i $g$ i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała $K.$

2. Macierz $B_{n}(f,g)$ jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy $g=f',$ ($g$ jest pochodną wielomianu $f$), macierz Bezouta $B_{n}(f,f')$ oznacza się przez $B_{n}(f).$ W myśl powyższych określeń stopień macierzy $n=\deg(f),$ więc wielomian $f$ musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta $B_{n}(f).$

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla $n=1$ wielomian miał postać $f(x)=ax+b,$ dla $n=2$ postać $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące: $B_{1}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{2}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}b^{2}-2ac&ab\\ab&2a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{3}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}c^{2}-2bd&bc-3ad&ac\\bc-3ad&2b^{2}-2ac&2ab\\ac&2ab&3a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{4}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}d^{2}-2ce&cd-3be&bd-4ae&ad\\cd-3be&2c^{2}-2bd-4ae&2bc-3ad&2ac\\bd-4ae&2bc-3ad&3b^{2}-2ac&3ab\\ad&2ac&3ab&4a^{2}\end{smallmatrix}}\right].$

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy $B_{n}(f)$ do macierzy $A_{n},$ co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez $J_{n,1}$ z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez $J_{n,1}$ jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali $J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}$ może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo $\det J_{n,1}=(-1)^{n(n-1)/2}$), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f)$ wynika, że najwyższy współczynnik $a$ wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy $J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}.$

Wprowadźmy oznaczenie $D_{n}(t)=\operatorname {diag} (t,1,\dots ,1).$ Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez $t,$ a mnożenie z prawej strony mnoży przez $t$ pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez $D_{n}(a^{-1})$ usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez $C_{n}(f),$ czyli

$C_{n}(f)=D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1}).$

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

$\det C_{n}(f)=a^{-2}\det B_{n}(f).$

Na przykład

$C_{3}(f)=D_{3}(a^{-1})J_{3,1}B_{3}(f)J_{3,1}D_{3}(a^{-1})=\left[{\begin{smallmatrix}3&2b&c\\2b&2b^{2}-2ac&bc-3ad\\c&bc-3ad&c^{2}-2bd\end{smallmatrix}}\right].$

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy $A_{3},$ ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy $C_{3}(f),$ nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w $A_{3}.$

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez $b,$ od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez $c,$ i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez $-1$ i pierwszą kolumnę też przez $-1.$ Macierz przekształcona jest równa $A_{3}.$

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

$F_{3}={\begin{bmatrix}-1&-b&-c\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},$

a dla wierszy jest to macierz $F_{3}^{\operatorname {T} },$ czyli $A_{3}=F_{3}^{\operatorname {T} }C_{3}(f)F_{3}.$

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn. $f(x)=a_{0}x^{n}+\dots +a_{n},$

$F_{n}={\begin{bmatrix}-1&-a_{1}&\dots &-a_{n-1}\\&1&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{bmatrix}}$

i $A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.$

Ponieważ $\det F_{n}=-1,$ to $\det A_{n}=\det C_{n}(f),$ więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

$D(f)=a_{0}^{-2}\det B_{n}(f).$

Macierz $F_{n}$ jest inwolutywna, to znaczy $F_{n}^{2}=I_{n},$ skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy $A_{n}$ przekształca ją z powrotem w $C_{n}(f),$ ponieważ

$F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}F_{n}=I_{n}C_{n}(f)I_{n}=C_{n}(f).$

Zatem macierze $C_{n}(f)$ i $A_{n}$ przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji $F_{n}.$

Związek pomiędzy macierzą $A_{n}$ i macierzą Bezouta $B_{n}(f)$ wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

$A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1})F_{n}$

i na odwrót

$B_{n}(f)=J_{n,1}D_{n}(a)F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}D_{n}(a)J_{n,1}.$

Choć $A_{n}$ nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz $A_{n}$ nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f)$ i natychmiast otrzymać $C_{n}(f),$ a następnie obliczyć $A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.$

2. Dla wielomianu stopnia $n$ istnieją macierze stopnia $n,$ których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

Wyróżniki wielomianów stopni od 1 do 6

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

$f(x)=ax+b$

$\Delta _{1}(a,b)=1$

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$\Delta _{2}(a,b,c)=-4ac+b^{2}$

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

$\Delta _{3}(a,b,c,d)=-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}$

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

$\Delta _{4}(a,b,c,d,e)=$

$256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de$

$+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}$

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

$p(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f$

$\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=$

Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian
1	$+$	$3125$	$a^{4}f^{4}$		21	$+$	$144$	$a^{2}cd^{2}e^{3}$		41	$+$	$16$	$ac^{4}e^{3}$
2	$-$	$2500$	$a^{3}bef^{3}$		22	$+$	$108$	$a^{2}d^{5}f$		42	$+$	$16$	$ac^{3}d^{3}f$
3	$-$	$3750$	$a^{3}cdf^{3}$		23	$-$	$27$	$a^{2}d^{4}e^{2}$		43	$-$	$4$	$ac^{3}d^{2}e^{2}$
4	$+$	$2000$	$a^{3}ce^{2}f^{2}$		24	$-$	$1600$	$ab^{3}cf^{3}$		44	$+$	$256$	$b^{5}f^{3}$
5	$+$	$2250$	$a^{3}d^{2}ef^{2}$		25	$+$	$160$	$ab^{3}def^{2}$		45	$-$	$192$	$b^{4}cef^{2}$
6	$-$	$1600$	$a^{3}de^{3}f$		26	$-$	$36$	$ab^{3}e^{3}f$		46	$-$	$128$	$b^{4}d^{2}f^{2}$
7	$+$	$256$	$a^{3}e^{5}$		27	$+$	$1020$	$ab^{2}c^{2}ef^{2}$		47	$+$	$144$	$b^{4}de^{2}f$
8	$+$	$2000$	$a^{2}b^{2}df^{3}$		28	$+$	$560$	$ab^{2}cd^{2}f^{2}$		48	$-$	$27$	$b^{4}e^{4}$
9	$-$	$50$	$a^{2}b^{2}e^{2}f^{2}$		29	$-$	$746$	$ab^{2}cde^{2}f$		49	$+$	$144$	$b^{3}c^{2}df^{2}$
10	$+$	$2250$	$a^{2}bc^{2}f^{3}$		30	$+$	$144$	$ab^{2}ce^{4}$		50	$-$	$6$	$b^{3}c^{2}e^{2}f$
11	$-$	$2050$	$a^{2}bcdef^{2}$		31	$+$	$24$	$ab^{2}d^{3}ef$		51	$-$	$80$	$b^{3}cd^{2}ef$
12	$+$	$160$	$a^{2}bce^{3}f$		32	$-$	$6$	$ab^{2}d^{2}e^{3}$		52	$+$	$18$	$b^{3}cde^{3}$
13	$-$	$900$	$a^{2}bd^{3}f^{2}$		33	$-$	$630$	$abc^{3}df^{2}$		53	$+$	$16$	$b^{3}d^{4}f$
14	$+$	$1020$	$a^{2}bd^{2}e^{2}f$		34	$+$	$24$	$abc^{3}e^{2}f$		54	$-$	$4$	$b^{3}d^{3}e^{2}$
15	$-$	$192$	$a^{2}bde^{4}$		35	$+$	$356$	$abc^{2}d^{2}ef$		55	$-$	$27$	$b^{2}c^{4}f^{2}$
16	$-$	$900$	$a^{2}c^{3}ef^{2}$		36	$-$	$80$	$abc^{2}de^{3}$		56	$+$	$18$	$b^{2}c^{3}def$
17	$+$	$825$	$a^{2}c^{2}d^{2}f^{2}$		37	$-$	$72$	$abcd^{4}f$		57	$-$	$4$	$b^{2}c^{3}e^{3}$
18	$+$	$560$	$a^{2}c^{2}de^{2}f$		38	$+$	$18$	$abcd^{3}e^{2}$		58	$-$	$4$	$b^{2}c^{2}d^{3}f$
19	$-$	$128$	$a^{2}c^{2}e^{4}$		39	$+$	$108$	$ac^{5}f^{2}$		59	$+$	$1$	$b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}$
20	$-$	$630$	$a^{2}cd^{3}ef$		40	$-$	$72$	$ac^{4}def$

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

$p(x)=ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g$

$\Delta _{6}(a,b,c,d,e,f,g)=$

Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom
1	$-$	$46656$	$a^{5}g^{5}$		51	$-$	$31320$	$a^{2}b^{2}cdfg^{3}$		101	$-$	$4860$	$a^{2}cd^{4}eg^{2}$		151	$-$	$6$	$ab^{2}d^{2}e^{3}f^{2}$		201	$+$	$1020$	$b^{4}ce^{2}f^{2}g$
2	$+$	$38880$	$a^{4}bfg^{4}$		52	$-$	$6480$	$a^{2}b^{2}ce^{2}g^{3}$		102	$+$	$162$	$a^{2}cd^{4}f^{2}g$		152	$+$	$6912$	$abc^{4}dg^{3}$		202	$-$	$192$	$b^{4}cef^{4}$
3	$+$	$62208$	$a^{4}ceg^{4}$		53	$+$	$8748$	$a^{2}b^{2}cef^{2}g^{2}$		103	$+$	$2808$	$a^{2}cd^{3}e^{2}fg$		153	$-$	$640$	$abc^{4}efg^{2}$		203	$-$	$900$	$b^{4}d^{3}fg^{2}$
4	$-$	$32400$	$a^{4}cf^{2}g^{3}$		54	$-$	$1700$	$a^{2}b^{2}cf^{4}g$		104	$-$	$630$	$a^{c}d^{3}ef^{3}$		154	$+$	$144$	$abc^{4}f^{3}g$		204	$+$	$825$	$b^{4}d^{2}e^{2}g^{2}$
5	$+$	$34992$	$a^{4}d^{2}g^{4}$		55	$-$	$27540$	$a^{2}b^{2}d^{2}eg^{3}$		105	$-$	$576$	$a^{2}cd^{2}e^{4}g$		155	$-$	$4464$	$abc^{3}d^{2}fg^{2}$		205	$+$	$560$	$b^{4}d^{2}ef^{2}g$
6	$-$	$77760$	$a^{4}defg^{3}$		56	$+$	$15417$	$a^{2}b^{2}d^{2}f^{2}g^{2}$		106	$+$	$144$	$a^{2}cd^{2}e^{3}f^{2}$		156	$-$	$2496$	$abc^{3}de^{2}g^{2}$		206	$-$	$128$	$b^{4}d^{2}f^{4}$
7	$+$	$27000$	$a^{4}df^{3}g^{2}$		57	$+$	$16632$	$a^{2}b^{2}de^{2}fg^{2}$		107	$+$	$729$	$a^{2}d^{6}g^{2}$		157	$+$	$3272$	$abc^{3}def^{2}g$		207	$-$	$630$	$b^{4}de^{3}fg$
8	$-$	$13824$	$a^{4}e^{3}g^{3}$		58	$-$	$12330$	$a^{2}b^{2}def^{3}g$		108	$-$	$486$	$a^{2}d^{5}efg$		158	$-$	$630$	$abc^{3}df^{4}$		208	$+$	$144$	$b^{4}de^{2}f^{3}$
9	$+$	$43200$	$a^{4}e^{2}f^{2}g^{2}$		59	$+$	$2000$	$a^{2}b^{2}df^{5}$		109	$+$	$108$	$a^{2}d^{5}f^{3}$		159	$-$	$96$	$abc^{3}e^{3}fg$		209	$+$	$108$	$b^{4}e^{5}g$
10	$-$	$22500$	$a^{4}ef^{4}g$		60	$-$	$192$	$a^{2}b^{2}e^{4}g^{2}$		110	$+$	$108$	$a^{2}d^{4}e^{3}g$		160	$+$	$24$	$abc^{3}e^{2}f^{3}$		210	$-$	$27$	$b^{4}e^{4}f^{2}$
11	$+$	$3125$	$a^{4}f^{6}$		61	$+$	$248$	$a^{2}b^{2}e^{3}f^{2}g$		111	$-$	$27$	$a^{2}d^{4}e^{2}f^{2}$		161	$+$	$2808$	$abc^{2}d^{3}eg^{2}$		211	$-$	$1600$	$b^{3}c^{3}dg^{3}$
12	$-$	$32400$	$a^{3}b^{2}eg^{4}$		62	$-$	$50$	$a^{2}b^{2}e^{2}f^{4}$		112	$-$	$22500$	$ab^{4}cg^{4}$		162	$-$	$108$	$abc^{2}d^{3}f^{2}g$		212	$+$	$160$	$b^{3}c^{3}efg^{2}$
13	$+$	$540$	$a^{3}b^{2}f^{2}g^{3}$		63	$-$	$21888$	$a^{2}bc^{3}fg^{3}$		113	$+$	$2250$	$ab^{4}dfg^{3}$		163	$-$	$1584$	$abc^{2}d^{2}e^{2}fg$		213	$-$	$36$	$b^{3}c^{3}f^{3}g$
14	$-$	$77760$	$a^{3}bcdg^{4}$		64	$-$	$3456$	$a^{b}c^{2}deg^{3}$		114	$+$	$1500$	$ab^{4}e^{2}g^{3}$		164	$+$	$356$	$abc^{2}d^{2}ef^{3}$		214	$+$	$1020$	$b^{3}c^{2}d^{2}fg^{2}$
15	$+$	$31968$	$a^{3}bcefg^{3}$		65	$+$	$16632$	$a^{2}bc^{2}df^{2}g^{2}$		115	$-$	$1700$	$ab^{4}ef^{2}g^{2}$		165	$+$	$320$	$abc^{2}de^{4}g$		215	$+$	$560$	$b^{3}c^{2}de^{2}g^{2}$
16	$-$	$1800$	$a^{3}bcf^{3}g^{2}$		66	$+$	$15264$	$a^{2}bc^{2}e^{2}fg^{2}$		116	$+$	$320$	$ab^{4}f^{4}g$		166	$-$	$80$	$abc^{2}de^{3}f^{2}$		216	$-$	$746$	$b^{3}c^{2}def^{2}g$
17	$+$	$15552$	$a^{3}bd^{2}fg^{3}$		67	$-$	$13040$	$a^{2}bc^{2}ef^{3}g$		117	$+$	$15600$	$ab^{3}c^{2}fg^{3}$		167	$-$	$486$	$abcd^{5}g^{2}$		217	$+$	$144$	$b^{3}c^{2}df^{4}$
18	$+$	$46656$	$a^{3}bde^{2}g^{3}$		68	$+$	$2250$	$a^{2}bc^{2}f^{5}$		118	$+$	$19800$	$ab^{3}cdeg^{3}$		168	$+$	$324$	$abcd^{4}efg$		218	$+$	$24$	$b^{3}c^{2}e^{3}fg$
19	$-$	$31320$	$a^{3}bdef^{2}g^{2}$		69	$+$	$21384$	$a^{2}bcd^{3}g^{3}$		119	$-$	$12330$	$ab^{3}cdf^{2}g^{2}$		169	$-$	$72$	$abcd^{4}f^{3}$		219	$-$	$6$	$b^{3}c^{2}e^{2}f^{3}$
20	$+$	$2250$	$a^{3}bdf^{4}g$		70	$-$	$22896$	$a^{2}bcd^{2}efg^{2}$		120	$-$	$13040$	$ab^{3}ce^{2}fg^{2}$		170	$-$	$72$	$abcd^{3}e^{3}g$		220	$-$	$630$	$b^{3}cd^{3}eg^{2}$
21	$-$	$21888$	$a^{3}be^{3}fg^{2}$		71	$+$	$1980$	$a^{2}bcd^{2}f^{3}g$		121	$+$	$9768$	$ab^{3}cef^{3}g$		171	$+$	$18$	$abcd^{3}e^{2}f^{2}$		221	$+$	$24$	$b^{3}cd^{3}f^{2}g$
22	$+$	$15600$	$a^{3}be^{2}f^{3}g$		72	$-$	$5760$	$a^{2}bcde^{3}g^{2}$		122	$-$	$1600$	$ab^{3}cf^{5}$		172	$-$	$1024$	$ac^{6}g^{3}$		222	$+$	$356$	$b^{3}cd^{2}e^{2}fg$
23	$-$	$2500$	$a^{3}bef^{5}$		73	$+$	$10152$	$a^{2}bcde^{2}f^{2}g$		123	$-$	$1350$	$ab^{3}d^{3}g^{3}$		173	$+$	$768$	$ac^{5}dfg^{2}$		223	$-$	$80$	$b^{3}cd^{2}ef^{3}$
24	$-$	$13824$	$a^{3}c^{3}g^{4}$		74	$-$	$2050$	$a^{2}bcdef^{4}$		124	$+$	$1980$	$ab^{3}d^{2}efg^{2}$		174	$+$	$512$	$ac^{5}e^{2}g^{2}$		224	$-$	$72$	$b^{3}cde^{4}g$
25	$+$	$46656$	$a^{3}c^{2}dfg^{3}$		75	$-$	$640$	$a^{2}bce^{4}fg$		125	$-$	$208$	$ab^{3}d^{2}f^{3}g$		175	$-$	$576$	$ac^{5}ef^{2}g$		225	$+$	$18$	$b^{3}cde^{3}f^{2}$
26	$-$	$17280$	$a^{3}c^{2}e^{2}g^{3}$		76	$+$	$160$	$a^{2}bce^{3}f^{3}$		126	$-$	$120$	$ab^{3}de^{3}g^{2}$		176	$+$	$108$	$ac^{5}f^{4}$		226	$+$	$108$	$b^{3}d^{5}g^{2}$
27	$-$	$6480$	$a^{3}c^{2}ef^{2}g^{2}$		77	$-$	$6318$	$a^{2}bd^{4}fg^{2}$		127	$-$	$682$	$ab^{3}de^{2}f^{2}g$		177	$-$	$576$	$ac^{4}d^{2}eg^{2}$		227	$-$	$72$	$b^{3}d^{4}efg$
28	$+$	$1500$	$a^{3}c^{2}f^{4}g$		78	$+$	$5832$	$a^{2}bd^{3}e^{2}g^{2}$		128	$+$	$160$	$ab^{3}def^{4}$		178	$+$	$24$	$ac^{4}d^{2}f^{2}g$		228	$+$	$16$	$b^{3}d^{4}f^{3}$
29	$+$	$3888$	$a^{3}cd^{2}eg^{3}$		79	$+$	$3942$	$a^{2}bd^{3}ef^{2}g$		129	$+$	$144$	$ab^{3}e^{4}fg$		179	$+$	$320$	$ac^{4}de^{2}fg$		229	$+$	$16$	$b^{3}d^{3}e^{3}g$
30	$-$	$27540$	$a^{3}cd^{2}f^{2}g^{2}$		80	$-$	$900$	$a^{2}bd^{3}f^{4}$		130	$-$	$36$	$ab^{3}e^{3}f^{3}$		180	$-$	$72$	$ac^{4}def^{3}$		230	$-$	$4$	$b^{3}d^{3}e^{2}f^{2}$
31	$-$	$3456$	$a^{3}cde^{2}fg^{2}$		81	$-$	$4464$	$a^{2}bd^{2}e^{3}fg$		131	$-$	$10560$	$ab^{2}c^{3}eg^{3}$		181	$-$	$64$	$ac^{4}e^{4}g$		231	$+$	$256$	$b^{2}c^{5}g^{3}$
32	$+$	$19800$	$a^{3}cdef^{3}g$		82	$+$	$1020$	$a^{2}bd^{2}e^{2}f^{3}$		132	$+$	$248$	$ab^{2}c^{3}f^{2}g^{2}$		182	$+$	$16$	$ac^{4}e^{3}f^{2}$		232	$-$	$192$	$b^{2}c^{4}dfg^{2}$
33	$-$	$3750$	$a^{3}cdf^{5}$		83	$+$	$768$	$a^{2}bde^{5}g$		133	$-$	$9720$	$ab^{2}c^{2}d^{2}g^{3}$		183	$+$	$108$	$ac^{3}d^{4}g^{2}$		233	$-$	$128$	$b^{2}c^{4}e^{2}g^{2}$
34	$+$	$9216$	$a^{3}ce^{4}g^{2}$		84	$-$	$192$	$a^{2}bde^{4}f^{2}$		134	$+$	$10152$	$ab^{2}c^{2}defg^{2}$		184	$-$	$72$	$ac^{3}d^{3}efg$		234	$+$	$144$	$b^{2}c^{4}ef^{2}g$
35	$-$	$10560$	$a^{3}ce^{3}f^{2}g$		85	$+$	$9216$	$a^{2}c^{4}eg^{3}$		135	$-$	$682$	$ab^{2}c^{2}df^{3}g$		185	$+$	$16$	$ac^{3}d^{3}f^{3}$		235	$-$	$27$	$b^{2}c^{4}f^{4}$
36	$+$	$2000$	$a^{3}ce^{2}f^{4}$		86	$-$	$192$	$a^{2}c^{4}f^{2}g^{2}$		136	$+$	$4816$	$ab^{2}c^{2}e^{3}g^{2}$		186	$+$	$16$	$ac^{3}d^{2}e^{3}g$		236	$+$	$144$	$b^{2}c^{3}d^{2}eg^{2}$
37	$-$	$8748$