Rachunek lambda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rachunek lambdasystem formalny używany do badania zagadnień związanych z podstawami matematyki jak rekurencja, definiowalność funkcji, obliczalność, podstawy matematyki np. definicja liczb naturalnych, wartości logicznych, itd. Rachunek lambda został wprowadzony przez Alonzo Churcha i Stephena Cole'a Kleene'ego w 1930 roku.

Rachunek lambda jest przydatny do badania algorytmów. Wszystkie algorytmy, które dadzą się zapisać w rachunku lambda, dadzą się zaimplementować na maszynie Turinga i odwrotnie.

Istnieje wiele rodzajów rachunku lambda, z czego najprostszym jest rachunek lambda bez typów, stanowiący pierwotną inspirację dla powstania programowania funkcyjnego (Lisp). Rachunek lambda z typami jest podstawą dzisiejszych systemów typów w językach programowania.

Opis nieformalny[edytuj]

W rachunku lambda każde wyrażenie określa funkcję jednoargumentową. Z kolei argumentem tej funkcji jest również funkcja jednoargumentowa, wartością funkcji jest znów funkcja jednoargumentowa. Funkcja jest definiowana anonimowo przez wyrażenie lambda, które opisuje, co funkcja robi ze swoim argumentem.

Funkcja zwracająca argument powiększony o dwa, którą można by matematycznie zdefiniować jako , w rachunku lambda ma postać (nazwa parametru formalnego jest dowolna, więc można zastąpić inną zmienną). Z kolei wartość funkcji w punkcie, np. ma zapis . Warto wspomnieć o tym, że funkcja jest łączna lewostronnie względem argumentu, tzn. .

Ponieważ wszystko jest funkcją jednoargumentową, możemy zdefiniować zmienną o zadanej wartości - nazwijmy ją . Funkcja jest oczywiście stała, choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby była to dowolna inna funkcja. W rachunku lambda jest dane wzorem .

Teraz jesteśmy w stanie dokonać klasycznego otrzymania wartości w punkcie lub też lepiej rzecz ujmując, wykonać złożenie funkcji, mianowicie . Niech będzie dana jak poprzednio, wtedy: i dalej , a więc otrzymujemy po prostu .

Funkcję dwuargumentową można zdefiniować za pomocą techniki zwanej curryingiem, mianowicie jako funkcję jednoargumentową, której wynikiem jest znowu funkcja jednoargumentowa. Rozpatrzmy funkcję , której zapis w rachunku lambda ma postać . Aby uprościć zapis stosuje się powszechnie konwencję, aby funkcje "curried" zapisywać według wzoru .

Wyrażenia lambda[edytuj]

Niech będzie nieskończonym, przeliczalnym zbiorem zmiennych. Wyrażenie lambda definiuje się następująco:

  • Jeżeli to jest wyrażeniem lambda,
  • Jeżeli jest wyrażeniem lambda i , to napis jest wyrażeniem lambda,
  • Jeżeli oraz są wyrażeniami lambda, to napis jest wyrażeniem lambda,
  • Wszystkie wyrażenia lambda można utworzyć korzystając z powyższych reguł.

Zbiór wszystkich wyrażeń lambda oznacza się .

Wyrażenia lambda rozpatruje się najczęściej jako klasy abstrakcji relacji alfa-konwersji.

Zmienne wolne[edytuj]

Zbiór zmiennych wolnych definiuje się następująco:

Logika[edytuj]

Użycie wartości liczbowych do oznaczania wartości logicznych może prowadzić do nieścisłości przy operowaniu relacjami na liczbach, dlatego też należy wyraźnie oddzielić logikę od obiektów, na których ona operuje. Z tego powodu oczywistym staje się fakt, że wartości logiczne prawdy i fałszu muszą być elementami skonstruowanymi z wyrażeń tego rachunku.

Wartościami logicznymi nazwiemy funkcje dwuargumentowe, z których jedna zawsze będzie zwracać pierwszy argument, a druga – drugi:

  • (prawda) to ,
  • (fałsz) to .

Teraz chcąc ukonstytuować operacje logiczne stosujemy nasze ustalone wartości tak, by wyniki tych operacji były zgodne z naszymi oczekiwaniami, mamy:

  • (negacja) to ,
  • (koniunkcja) to ,
  • (alternatywa) to .

Rozwiniętą implikację "jeśli , to , w przeciwnym razie " zapisać można jako , czyli .

Przykład[edytuj]

Obliczmy wartość wyrażenia "prawda i fałsz", czyli w rachunku lambda

,

czyli "fałsz" zgodnie z oczekiwaniami.

Struktury danych[edytuj]

Para złożona z elementów i to Pierwszy element wyciąga się za pomocą , natomiast drugi przez .

Listy można konstruować następującym sposobem:

  • NIL to
  • CONS to PARA wartość i lista

Następująca funkcja zwraca , jeśli argumentem jest NIL, oraz , jeśli to CONS:

Rekurencja w rachunku lambda[edytuj]

Rachunek lambda z pozoru nie ma żadnego mechanizmu, który umożliwiałby rekurencję – nie można odwoływać się w definicji do samej funkcji. A jednak rekurencję można osiągnąć poprzez operator paradoksalny Y.

Paradoks polega na tym że dla każdego F zachodzi:

Y F = F (Y F)

Tak więc np. funkcja negacji nie jest możliwa do zaimplementowania w postaci ogólnej gdyż:

(Y nie) = nie (Y nie)

Funkcja rekurencyjna musi pobrać siebie samą jako wartość.

Działa to w następujący sposób:

(Y f) n
f (Y f) n
λ f . λ n . ciało_f

gdzie ciało_f może się odwoływać do siebie samej

Np.:

silnia = Y (λ f . λ n . if_then_else (is_zero n) 1 (mult n (f (pred n))))

Zobacz też[edytuj]