Równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna

Równania ruchu Einsteina-Infelda-Hoffmanna – wyprowadzone wspólnie przez Alberta Einsteina, Leopolda Infelda i Banesha Hoffmanna różniczkowe równania ruchu, opisujące przybliżoną dynamikę układu punktowych mas w zależności od ich wzajemnych oddziaływań grawitacyjnych przy uwzględnieniu efektów wynikających z ogólnej teorii względności. Równania te są wyprowadzone w taki sposób, że ich rozwiązania dobrze przybliżają rozwiązania pełnych równań ogólnej teorii względności w przypadku, gdy prędkości ciał są małe w porównaniu do prędkości światła w próżni, a pola grawitacyjne odpowiednio słabe.

Dany jest układ N ciał, oznaczonych indeksami A = 1, ..., N, barycentryczny wektor przyśpieszenia ciała A spełnia zależność:

${\begin{aligned}{\vec {a}}_{A}=&\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\\&+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\left[v_{A}^{2}+2v_{B}^{2}-4({\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B})-{\frac {3}{2}}({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {v}}_{B})^{2}\right.\\&\qquad \left.-\ 4\sum _{C\not =A}{\frac {Gm_{C}}{r_{AC}}}-\sum _{C\not =B}{\frac {Gm_{C}}{r_{BC}}}+{\frac {1}{2}}(({\vec {x}}_{B}-{\vec {x}}_{A})\cdot {\vec {a}}_{B})\right]\\&+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}}{r_{AB}^{2}}}\left[{\vec {n}}_{AB}\cdot (4{\vec {v}}_{A}-3{\vec {v}}_{B})\right]({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})\\&+{\frac {7}{2c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {a}}_{B}}{r_{AB}}}+O(c^{-4})\end{aligned}}$

gdzie:

$\cdot$ jest operacją iloczynu skalarnego wektorów,

${\vec {x}}_{A}$ jest barycentrycznym wektorem pozycji ciała $A,$

${\vec {v}}_{A}=d{\vec {x}}_{A}/dt$ jest barycentrycznym wektorem prędkości ciała $A,$

${\vec {a}}_{A}=d^{2}{\vec {x}}_{A}/dt^{2}$ jest barycentrycznym wektorem przyśpieszenia ciała $A,$

$r_{AB}=|{\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B}|$ jest odległością między ciałami $A$ i $B,$

${\vec {n}}_{AB}=({\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B})/r_{AB}$ jest wektorem jednostkowym o zwrocie w kierunku od ciała $B$ do ciała $A,$

$m_{A}$ jest masą ciała $A,$

$c$ jest prędkością światła w próżni,

$G$ jest stałą grawitacji,

człon $O(c^{-4})$ oznacza, zgodnie z notacją dużego O, łącznie wszystkie składniki mające w mianowniku $c$ do potęgi czwartej lub wyższej.

Pierwszy człon prawej strony równania stanowi newtonowskie przyśpieszenie grawitacyjne ciała $A;$ przy przejściu granicznym $c\to \infty$ równanie powyższe przechodzi zatem w klasyczne równanie dynamiki Newtona.

Przyśpieszenie danego ciała jest zależne od przyśpieszeń wszystkich pozostałych ciał, a w układzie równań każda wartość po lewej stronie znaku równości występuje również po prawej. W związku z tym równania te rozwiązuje się stosując metody iteracyjne. W praktyce, używając w obliczeniach przyśpieszenia newtonowskiego w miejsce przyśpieszenia relatywistyczngo, otrzymuje się zadowalającą dokładność.

Bibliografia

• A. Einstein, L. Infeld, B. Hoffmann. The Gravitational Equations and the Problem of Motion. „Annals of Mathematics”, s. 65–100, 1938. Bibcode: 1938AnMat..39...65E. (ang.). 
• Jean Kovalevsky, P. Kenneth Seidelmann: Fundamentals of Astrometry. Nowy Jork: 2004. ISBN 0-521-64216-7. (ang.).