Równania Friedmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
Spacetime curvature.png
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Równania Friedmana – podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu p i gęstości ρ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera.

Postać równań[edytuj]

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali a w zależności od czasu kosmicznego t:

gdzie H to parametr Hubble'a, G – newtonowska stała grawitacji, kkrzywizna przestrzeni, cprędkość światła, zaś Λ – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

Parametr Hubble'a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, H0, zwana jest stałą Hubble'a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble'a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości Ω = ρ/ρc, gdzie ρc jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

Wielkości Ωr, Ωm i ΩΛ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś Ωk jest "parametrem krzywizny". Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).