Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela, w skrócie: aksjomaty ZF – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 roku, który został później uzupełniony przez Abrahama Fraenkela.

Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

Historia

w 1908 r. Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości – teorię mnogości Zermelo. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, to jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teorio-mnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermelo odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 r. Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem, niezależnie, zaproponowali uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat należenia do, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Przez zastosowanie wspomnianego schematu oraz dodanie aksjomatu regularności, zaproponowanego przez Zermelo w 1930 roku, do teorii mnogości Zermelo, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Aksjomat ekstensjonalności

Jeżeli zbiory $a$ i $b$ mają te same elementy, to są identyczne:

$\forall a\;\forall b\;\left(\forall x\;(x\in a\Leftrightarrow x\in b)\Rightarrow a=b\right)$

Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:

$\exists x\;\forall y\;\neg (y\in x)$

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – zbiór pusty, oznaczany symbolem $\emptyset$

Aksjomat podzbiorów

Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.

Dla każdego zbioru $b$ istnieje zbiór $a$, złożony z tych i tylko tych elementów $x$ zbioru $b$, które mają własność $\varphi$:

$\forall p_{1}\dots \forall p_{n}\;\forall b\;\exists a\;\forall x\;{\bigg (}x\in a\Leftrightarrow {\Big (}x\in b\land \varphi (x,b,p_{1},\dots ,p_{n}){\Big )}{\bigg )}$

Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary

Dla dowolnych zbiorów $a$ i $b$ istnieje zbiór $c$, którego elementami są dokładnie zbiory $a$ oraz $b$:

$\forall a\;\forall b\;\exists c\;\forall x\;{\Big (}x\in c\Leftrightarrow (x=a\lor x=b){\Big )}$

Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów $r$ istnieje zbiór $u$, do którego należą dokładnie te elementy $x$, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny $r$:

$\forall r\;\exists u\;\forall x\;{\Big (}x\in u\Leftrightarrow \exists a\;(x\in a\land a\in r){\Big )}$

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru $x$ istnieje zbiór $p$, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru $x$:

$\forall x\;\exists p\;\forall z\;{\Big (}z\in p\Leftrightarrow \forall y\;(y\in z\Rightarrow y\in x){\Big )}$

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór induktywny:

$\exists x\;{\Bigg (}\exists a\;{\Big (}a\in x\land \forall b\;\neg (b\in a){\Big )}$

$\land \forall c{\bigg (}c\in x\Rightarrow \exists d\;{\Big (}d\in x\land \forall e\;{\big (}e\in d\Leftrightarrow (e\in c\lor e=c){\big )}{\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}$

Istnieje wiele takich zbiorów.

Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania

Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.

Jeżeli dla każdego $x$ istnieje dokładnie jeden $y$, dla którego zachodzi $\Theta (x,y)$, to dla dowolnego zbioru $x$ istnieje taki zbiór $y$, że:

$\forall y\;{\bigg (}y\in y\Leftrightarrow \exists x\in x\;{\Big (}\Theta (x,y){\Big )}{\bigg )}$

$\forall p_{1}\dots \forall p_{n}\;\forall x\;{\Bigg (}\forall x\;\exists !y\;\Theta (x,y,x,p_{1},\dots ,p_{n})$

$\Rightarrow \exists y\;\forall y\;{\bigg (}y\in y\Leftrightarrow \exists x\;{\Big (}x\in x\land \Theta (x,y,x,p_{1},\dots ,p_{n}){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}$

przy czym: $\exists !y\;w(y)\Leftrightarrow ((\exists y)(\forall x)\;\left(w(x)\Leftrightarrow x=y\right))$

Aksjomat regularności

Inna nazwa: aksjomat ufundowania.

Każdy niepusty zbiór $x$ ma element rozłączny z $x$:

$\forall x\;{\Bigg (}x\neq \emptyset \Rightarrow \exists y\;{\bigg (}y\in x\land \neg {\Big (}\exists z\;(z\in x\land z\in y){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}$

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie - ZFC.

Dla dowolnej rodziny $r$ zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor $s$ (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).

$\forall r\;{\Bigg (}\forall a\;(a\in r\Rightarrow a\neq \emptyset )$

$\land \forall a\;\forall b\;{\bigg (}{\Big (}a\in r\land b\in r\land a\neq b{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x\;(x\in a\land x\in b){\Big )}{\bigg )}$

$\Rightarrow \exists s\;\forall a\;{\Big (}a\in r\Rightarrow \exists !y\;(y\in s\land y\in a){\Big )}{\Bigg )}$

przy czym: $\exists !y\;w(y)\Leftrightarrow ((\exists y)(\forall x)\;\left(w(x)\Leftrightarrow x=y\right))$

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów $\langle a_{i}\colon i\in i\rangle$ istnieje funkcja wyboru

$\ (f:i\rightarrow \bigcup _{i\in i}a_{i})$ taka, że:

$f(i)\in a_{i}$ dla wszystkich $i\in i$.

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.brak strony w książce
• Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.brak strony w książce

Zobacz też

• Aksjomaty teorii mnogości