Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Nie rozpatrujemy szerszej klasy operatorów normalnych, z pozostałymi uwagami też się zgadzam; Dzięki |
→Przypadek rzeczywisty: literówka |
||
Linia 3: | Linia 3: | ||
== Operatory samosprzężone == |
== Operatory samosprzężone == |
||
=== Przypadek rzeczywisty === |
=== Przypadek rzeczywisty === |
||
Niech <math> V </math> będzie [[przestrzeń ortogonalna| |
Niech <math> V </math> będzie [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenią ortogonalną]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z dodatnio określonym [[Funkcjonał dwuliniowy|funkcjonałem dwuliniowym]]<ref name = "przHilb"> Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].</ref>. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Przekształcenie liniowe|endomorfizmem]] [[Sprzężenie hermitowskie|samosprzężonym]], to istnieje [[Baza (przestrzeń liniowa)|baza]] [[baza ortogonalna|ortogonalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z [[Wektor własny|wektorów własnych]] endomorfizmu <math> A .</math> |
||
=== Przypadek zespolony === |
=== Przypadek zespolony === |
Wersja z 21:04, 31 maj 2009
Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.
Operatory samosprzężone
Przypadek rzeczywisty
Niech będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]. Jeśli jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu
Przypadek zespolony
Niech będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną[1]. Jeśli jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora
Wniosek
Przy założeniach powyższych twierdzeń:
- Istnieje baza ortonormalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora . Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
Operatory normalne
Ten artykuł należy dopracować |
Niech będzie przestrzenią Hilberta oraz niech będzie operatorem normalnym[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma operatora taka, że:
Uwagi
- Miara spektralna z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora lub przedstawieniem spektralnym operatora
- Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich zbioru Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
- jeżeli
Zobacz też
- ↑ a b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
- ↑ W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.
Źródła
- Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
- Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
- Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).