historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach lagrange'a (teraz połączone ze wzorami viète'a, metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też: funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.
gdzie są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że , dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).
Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.
dla pewnych liczb to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb gdyż podstawiona zamiast sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.
W szczególności może być wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest
(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
oraz
Wyrażenie
nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to
Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy to
gdzie jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por. wzory Viète'a).
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli:
to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami gdzie jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.
Przykłady
Równanie
ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
Są nimi oraz
Równanie
po uporządkowaniu ma postać
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ to rozwiązania mają postać
Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète'a, które dla wielomianu mają postać
Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu
spełniają równości i to można go zapisać jako
Oznacza to, że rozwiązaniami równania
którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby
oraz
Przykłady
Równanie
daje się przedstawić w postaci
skąd otrzymuje się rozwiązania
oraz
Równanie
można zapisać jako
co oznacza, że rozwiązaniami są liczby
oraz
Dopełnianie do kwadratu
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:
skąd
a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się
co daje rozwiązania
oraz
Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy
Przykłady
Równanie
jest tożsame następującemu
kontynuując uzyskuje się
co jest równoważne
oraz
a więc rozwiązaniami są
oraz
Współczynniki całkowite
Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci
,
gdzie są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.
Przykłady
Rozwiązaniami wymiernymi równania
mogą być tylko liczby należące do zbioru . Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje ; liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ; liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ).
Inne
Jeżeli suma współczynników równania
jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania.