Wyróżnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wyróżnik wielomianuwyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja[edytuj]

Wyróżnik wielomianu stopnia n

to

,

gdzie to rugownik . Tak więc jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia 2n − 1:

Zależność od pierwiastków wielomianu[edytuj]

Jeśli są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu , to wyróżnik wyraża się wzorem

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary numerów takie, że .

Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu , np. jako wspomnany wyżej wyznacznik Sylvestera.

Wielomian stopnia 2 nad ciałem ma pierwiastki w wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele . Jeśli jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już gdy jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian ma dodatni wyróżnik , więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.

Przykłady[edytuj]

  • Wyróżnikiem funkcji kwadratowej jest .
  • Wyróżnikiem trójmianu jest .

Zobacz też[edytuj]