Wyróżnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wyróżnik wielomianuwyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnik wielomianu stopnia

to

gdzie to rugownik Tak więc jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia

Zależność od pierwiastków wielomianu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu to wyróżnik wyraża się wzorem

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary numerów takie, że

Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu np. jako wspomniany wyżej wyznacznik Sylvestera.

Wielomian stopnia 2 nad ciałem ma pierwiastki w wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele Jeśli jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już gdy jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian ma dodatni wyróżnik więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wyróżnikiem funkcji kwadratowej jest
  • Wyróżnikiem trójmianu jest

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]