Wyróżnik wielomianu

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś $p$ wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała $K,$ co zapisujemy $p\in K[x].$ Symbol $K[x]$ oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z $K.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n\geqslant 1$

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0},$

to element ciała $K$ (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

$D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n-k-2}R(p,p'),\quad {}$ gdy $p'\neq 0$

i ${}\ \ \ D(p)=0,\quad {}$ gdy $p'=0,$

gdzie $R(p,p')$ to rugownik wielomianu $p$ i jego pochodnej $p',$ zaś $k$ jest stopniem pochodnej $p'.$

Jeżeli $p'=0,$ to wielomian $p$ ma pierwiastki wielokrotne, i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień $n$ wielomianu $p$ nie jest wielokrotnością charakterystyki $\chi (K)$ ciała (na przykład gdy $\chi (K)=0$), to $k=n-1,$ a wyrażenie $a_{n}^{n-k-2}R(p,p')$ przyjmuje postać $a_{n}^{-1}R(p,p'),$ a jeżeli jest wielokrotnością i $p'\neq 0,$ to $k<n-1.$

W pierwszym przypadku rugownik $R(p,p')$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia $2n-1{:}$

$\left[{\begin{matrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\ldots &1a_{1}\end{matrix}}\right].$

Gdy oznaczymy przez $P\subset K[x]$ zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją $D\colon P\to K,$ a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez $M_{n}.$ Ma ona zawsze stopień $2n-1$ (niezależnie od tego czy $k<n-1$) i zachodzi związek $\det M_{n}=a_{n}^{n-k-1}R(p,p'),$ więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

$D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}.$

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji $\Delta _{n}\colon K^{n+1}\to K$ określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

$\Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}\quad {}$ dla $n\geqslant 1.$

W macierzy $M_{n}$ najwyższy współczynnik $a_{n}$ jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja $\Delta _{n}$ jest wielomianem $n+1$ zmiennych.

Niech $P_{n}\subset P$ będzie zbiorem wielomianów stopnia $n$ dla $n\geqslant 1,$ zaś $\lambda _{n}\colon P_{n}\to K^{n+1}$ funkcją przyporządkowującą wielomianowi $p$ jego współczynniki $(a_{n},\dots ,a_{0}).$ Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to $\lambda _{n}$ jest injekcją. Wobec oczywistej równości

$D|P_{n}=\Delta _{n}\circ \lambda _{n},$

funkcję $\Delta _{n}$ również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na $\Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0}),$ oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej $p',$ choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera $\Delta$ bez indeksu oznacza wartość funkcji $\Delta _{2}$ (lub $\Delta _{3}$) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Zależność od pierwiastków wielomianu

Wielomian $p$ stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż $K$).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},$ a wtedy $p(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).$

Kwadrat wyznacznika Vandermonda $V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

$V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

$R(p,p')=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n+k}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad {}$ dla $n\geqslant 1$ i $k\geqslant 0,$

gdzie $k$ jest stopniem pochodnej $p'.$

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

$D(p)=a_{n}^{2n-2}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy $n=1,$ to nie istnieje żadna para wskaźników z $i<j$ (iloczyn po zbiorze pustym), więc $D(p)=a_{1}^{0}\cdot 1=1$ w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian $f\in \mathbb {R} [x]$ ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to $D(f)\geqslant 0.$

Obliczanie wyróżnika

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia $2n-1.$ Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej $A_{n}$ stopnia $n,$ aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy $A_{n}.$

Oznaczenia i definicje pomocnicze

Oznaczmy przez $I_{n}$ macierz jednostkową stopnia $n.$ Definiujemy macierze $J_{n,k}$ stopnia $n$ dla $n\geqslant 1$ i $1\leqslant k\leqslant n.$ Gdy oznaczymy współrzędne macierzy $J_{n,k}$ przez $c_{i,j},$ to $c_{n-i,k+i}=1$ dla $i=0,\dots ,n-k,$ zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady $J_{1,1}=\left[{\begin{smallmatrix}1\end{smallmatrix}}\right]=I_{1},\quad J_{2,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{2,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad {}$ $J_{4,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{4,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right].$

Wszystkie macierze $J_{n,k}$ są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia $n$ będziemy zapisywali w postaci

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n},$   gdzie $a_{0}\neq 0.$

Definiujemy macierze $B_{n}$ zależne od współczynników wielomianu stopnia $n.$

$B_{n}=a_{n}\sum _{k=0}^{n-2}(n-k)a_{k}J_{n,k+2}$   dla $n\geqslant 2.$

Przykłady

$B_{2}=a_{2}\sum _{k=0}^{0}(2-k)a_{k}J_{2,k+2}=a_{2}(2a_{0}J_{2,2})=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}$

$B_{3}=a_{3}\sum _{k=0}^{1}(3-k)a_{k}J_{3,k+2}=a_{3}(3a_{0}J_{3,2}+2a_{1}J_{3,3})=a_{3}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3a_{0}\\0&3a_{0}&2a_{1}\end{bmatrix}}.$

Definicja rekursyjna

Macierze $A_{n},$ których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia $n$ zdefiniowane są rekursyjnie. Niech $A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}.$ Jeżeli już określona jest macierz $A_{n-1},$ to $A_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }-B_{n},$ gdzie

$L_{n}=\left[{\begin{array}{cccc|c}&&&&-1\\&I_{n-1}&&&0\\&&&&\vdots \\&&&&0\\\hline a_{n-1}&0&\dots &0&0\end{array}}\right],\quad A_{n}^{'}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&0\\&A_{n-1}&&\vdots \\&&&0\\\hline 0&\dots &0&1\end{array}}\right],$

a $B_{n}$ jest macierzą stopnia $n$ jak wyżej.

Macierz $A_{n-1}$ (i podobnie $I_{n-1}$) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze $A_{n}$ są symetryczne.

Dowód: Dla $n=1$ jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz $A_{n-1}$ jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy $A_{n}^{'}$ wynika, że $A_{n}^{'}$ jest symetryczna, czyli $A_{n}^{'\operatorname {T} }=A_{n}^{'}.$

Sprawdźmy, że macierz $C_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }$ jest symetryczna.

$C_{n}^{\operatorname {T} }=(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }=(L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }A_{n}^{'\operatorname {T} }L_{n}^{\operatorname {T} }=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }=C_{n}.$

Macierz $B_{n}$ jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych $J_{n,k}$ z pewnymi współczynnikami. Zatem $A_{n},$ jako różnica $C_{n}-B_{n}$ macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykłady

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

$A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$   $A_{2}=L_{2}A_{2}^{'}L_{2}^{\operatorname {T} }-B_{2},$

gdzie $A_{2}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I_{2},\quad L_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}},\quad B_{2}=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}.$

Stąd $A_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}}I_{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}\\-1&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&a_{1}\\a_{1}&a_{1}^{2}-2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}.$

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu $f(x)=a_{0}x^{2}+a_{1}x+a_{2},$ przyjmując $a_{0}=a,\ a_{1}=b,\ a_{2}=c,\dots$ itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy $A_{2}={\begin{bmatrix}2&b\\b&b^{2}-2ac\end{bmatrix}}$

i możemy wyliczyć macierz $A_{3}=L_{3}A_{3}^{'}L_{3}^{\operatorname {T} }-B_{3}.$

$A_{3}={\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\c&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&b&0\\b&b^{2}-2ac&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3ad\\0&3ad&2bd\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&b&2c\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd\end{bmatrix}}.$

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

$A_{4}={\begin{bmatrix}4&b&2c&3d\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be\\3d&bd-4ae&2cd-3be&3d^{2}-2ce\end{bmatrix}},$

$A_{5}={\begin{bmatrix}5&b&2c&3d&4e\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae&be-5af\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be-5af&2ce-4bf\\3d&bd-4ae&2cd-3be-5af&3d^{2}-2ce-4bf&3de-3cf\\4e&be-5af&2ce-4bf&3de-3cf&4e^{2}-2df\end{bmatrix}}.$

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

$\Delta _{1}(a,b)=\det A_{1},\quad \Delta _{2}(a,b,c)=\det A_{2},\;\dots \;,\;\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=\det A_{5}.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ jest wielomianem jednorodnym stopnia $2n-2$ zależnym od $n+1$ zmiennych – współczynników wielomianu.

Związek z macierzą Bezouta

Dla dwóch wielomianów $f,g\in K[x]$ spełniających $n=\max(\deg(f),\deg(g))\geqslant 1$ (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia $n.$ Zwykle oznacza się ją $B_{n}(f,g).$ Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f,g)$ zależą od współczynników wielomianów $f$ i $g$ i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała $K.$

2. Macierz $B_{n}(f,g)$ jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy $g=f',$ ($g$ jest pochodną wielomianu $f$), macierz Bezouta $B_{n}(f,f')$ oznacza się przez $B_{n}(f).$ W myśl powyższych określeń stopień macierzy $n=\deg(f),$ więc wielomian $f$ musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta $B_{n}(f).$

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla $n=1$ wielomian miał postać $f(x)=ax+b,$ dla $n=2$ postać $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące: $B_{1}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{2}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}b^{2}-2ac&ab\\ab&2a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{3}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}c^{2}-2bd&bc-3ad&ac\\bc-3ad&2b^{2}-2ac&2ab\\ac&2ab&3a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{4}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}d^{2}-2ce&cd-3be&bd-4ae&ad\\cd-3be&2c^{2}-2bd-4ae&2bc-3ad&2ac\\bd-4ae&2bc-3ad&3b^{2}-2ac&3ab\\ad&2ac&3ab&4a^{2}\end{smallmatrix}}\right].$

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy $B_{n}(f)$ do macierzy $A_{n},$ co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez $J_{n,1}$ z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez $J_{n,1}$ jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali $J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}$ może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo $\det J_{n,1}=(-1)^{n(n-1)/2}$), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f)$ wynika, że najwyższy współczynnik $a$ wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy $J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}.$

Wprowadźmy oznaczenie $D_{n}(t)=\operatorname {diag} (t,1,\dots ,1).$ Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez $t,$ a mnożenie z prawej strony mnoży przez $t$ pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez $D_{n}(a^{-1})$ usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez $C_{n}(f),$ czyli

$C_{n}(f)=D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1}).$

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

$\det C_{n}(f)=a^{-2}\det B_{n}(f).$

Na przykład

$C_{3}(f)=D_{3}(a^{-1})J_{3,1}B_{3}(f)J_{3,1}D_{3}(a^{-1})=\left[{\begin{smallmatrix}3&2b&c\\2b&2b^{2}-2ac&bc-3ad\\c&bc-3ad&c^{2}-2bd\end{smallmatrix}}\right].$

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy $A_{3},$ ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy $C_{3}(f),$ nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w $A_{3}.$

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez $b,$ od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez $c,$ i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez $-1$ i pierwszą kolumnę też przez $-1.$ Macierz przekształcona jest równa $A_{3}.$

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

$F_{3}={\begin{bmatrix}-1&-b&-c\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},$

a dla wierszy jest to macierz $F_{3}^{\operatorname {T} },$ czyli $A_{3}=F_{3}^{\operatorname {T} }C_{3}(f)F_{3}.$

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn. $f(x)=a_{0}x^{n}+\dots +a_{n},$

$F_{n}={\begin{bmatrix}-1&-a_{1}&\dots &-a_{n-1}\\&1&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{bmatrix}}$

i $A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.$

Ponieważ $\det F_{n}=-1,$ to $\det A_{n}=\det C_{n}(f),$ więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

$D(f)=a_{0}^{-2}\det B_{n}(f).$

Macierz $F_{n}$ jest inwolutywna, to znaczy $F_{n}^{2}=I_{n},$ skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy $A_{n}$ przekształca ją z powrotem w $C_{n}(f),$ ponieważ

$F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}F_{n}=I_{n}C_{n}(f)I_{n}=C_{n}(f).$

Zatem macierze $C_{n}(f)$ i $A_{n}$ przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji $F_{n}.$

Związek pomiędzy macierzą $A_{n}$ i macierzą Bezouta $B_{n}(f)$ wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

$A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1})F_{n}$

i na odwrót

$B_{n}(f)=J_{n,1}D_{n}(a)F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}D_{n}(a)J_{n,1}.$

Choć $A_{n}$ nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz $A_{n}$ nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_{n}(f)$ i natychmiast otrzymać $C_{n}(f),$ a następnie obliczyć $A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.$

2. Dla wielomianu stopnia $n$ istnieją macierze stopnia $n,$ których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

Wyróżniki wielomianów stopni od 1 do 6

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

$f(x)=ax+b$

$\Delta _{1}(a,b)=1$

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$\Delta _{2}(a,b,c)=-4ac+b^{2}$

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

$\Delta _{3}(a,b,c,d)=-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}$

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

$\Delta _{4}(a,b,c,d,e)=$

$256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de$

$+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}$

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

$p(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f$

$\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=$

Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian
1	$+$	$3125$	$a^{4}f^{4}$		21	$+$	$144$	$a^{2}cd^{2}e^{3}$		41	$+$	$16$	$ac^{4}e^{3}$
2	$-$	$2500$	$a^{3}bef^{3}$		22	$+$	$108$	$a^{2}d^{5}f$		42	$+$	$16$	$ac^{3}d^{3}f$
3	$-$	$3750$	$a^{3}cdf^{3}$		23	$-$	$27$	$a^{2}d^{4}e^{2}$		43	$-$	$4$	$ac^{3}d^{2}e^{2}$
4	$+$	$2000$	$a^{3}ce^{2}f^{2}$		24	$-$	$1600$	$ab^{3}cf^{3}$		44	$+$	$256$	$b^{5}f^{3}$
5	$+$	$2250$	$a^{3}d^{2}ef^{2}$		25	$+$	$160$	$ab^{3}def^{2}$		45	$-$	$192$	$b^{4}cef^{2}$
6	$-$	$1600$	$a^{3}de^{3}f$		26	$-$	$36$	$ab^{3}e^{3}f$		46	$-$	$128$	$b^{4}d^{2}f^{2}$
7	$+$	$256$	$a^{3}e^{5}$		27	$+$	$1020$	$ab^{2}c^{2}ef^{2}$		47	$+$	$144$	$b^{4}de^{2}f$
8	$+$	$2000$	$a^{2}b^{2}df^{3}$		28	$+$	$560$	$ab^{2}cd^{2}f^{2}$		48	$-$	$27$	$b^{4}e^{4}$
9	$-$	$50$	$a^{2}b^{2}e^{2}f^{2}$		29	$-$	$746$	$ab^{2}cde^{2}f$		49	$+$	$144$	$b^{3}c^{2}df^{2}$
10	$+$	$2250$	$a^{2}bc^{2}f^{3}$		30	$+$	$144$	$ab^{2}ce^{4}$		50	$-$	$6$	$b^{3}c^{2}e^{2}f$
11	$-$	$2050$	$a^{2}bcdef^{2}$		31	$+$	$24$	$ab^{2}d^{3}ef$		51	$-$	$80$	$b^{3}cd^{2}ef$
12	$+$	$160$	$a^{2}bce^{3}f$		32	$-$	$6$	$ab^{2}d^{2}e^{3}$		52	$+$	$18$	$b^{3}cde^{3}$
13	$-$	$900$	$a^{2}bd^{3}f^{2}$		33	$-$	$630$	$abc^{3}df^{2}$		53	$+$	$16$	$b^{3}d^{4}f$
14	$+$	$1020$	$a^{2}bd^{2}e^{2}f$		34	$+$	$24$	$abc^{3}e^{2}f$		54	$-$	$4$	$b^{3}d^{3}e^{2}$
15	$-$	$192$	$a^{2}bde^{4}$		35	$+$	$356$	$abc^{2}d^{2}ef$		55	$-$	$27$	$b^{2}c^{4}f^{2}$
16	$-$	$900$	$a^{2}c^{3}ef^{2}$		36	$-$	$80$	$abc^{2}de^{3}$		56	$+$	$18$	$b^{2}c^{3}def$
17	$+$	$825$	$a^{2}c^{2}d^{2}f^{2}$		37	$-$	$72$	$abcd^{4}f$		57	$-$	$4$	$b^{2}c^{3}e^{3}$
18	$+$	$560$	$a^{2}c^{2}de^{2}f$		38	$+$	$18$	$abcd^{3}e^{2}$		58	$-$	$4$	$b^{2}c^{2}d^{3}f$
19	$-$	$128$	$a^{2}c^{2}e^{4}$		39	$+$	$108$	$ac^{5}f^{2}$		59	$+$	$1$	$b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}$
20	$-$	$630$	$a^{2}cd^{3}ef$		40	$-$	$72$	$ac^{4}def$

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

$p(x)=ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g$

$\Delta _{6}(a,b,c,d,e,f,g)=$

Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom
1	$-$	$46656$	$a^{5}g^{5}$		51	$-$	$31320$	$a^{2}b^{2}cdfg^{3}$		101	$-$	$4860$	$a^{2}cd^{4}eg^{2}$		151	$-$	$6$	$ab^{2}d^{2}e^{3}f^{2}$		201	$+$	$1020$	$b^{4}ce^{2}f^{2}g$
2	$+$	$38880$	$a^{4}bfg^{4}$		52	$-$	$6480$	$a^{2}b^{2}ce^{2}g^{3}$		102	$+$	$162$	$a^{2}cd^{4}f^{2}g$		152	$+$	$6912$	$abc^{4}dg^{3}$		202	$-$	$192$	$b^{4}cef^{4}$
3	$+$	$62208$	$a^{4}ceg^{4}$		53	$+$	$8748$	$a^{2}b^{2}cef^{2}g^{2}$		103	$+$	$2808$	$a^{2}cd^{3}e^{2}fg$		153	$-$	$640$	$abc^{4}efg^{2}$		203	$-$	$900$	$b^{4}d^{3}fg^{2}$
4	$-$	$32400$	$a^{4}cf^{2}g^{3}$		54	$-$	$1700$	$a^{2}b^{2}cf^{4}g$		104	$-$	$630$	$a^{c}d^{3}ef^{3}$		154	$+$	$144$	$abc^{4}f^{3}g$		204	$+$	$825$	$b^{4}d^{2}e^{2}g^{2}$
5	$+$	$34992$	$a^{4}d^{2}g^{4}$		55	$-$	$27540$	$a^{2}b^{2}d^{2}eg^{3}$		105	$-$	$576$	$a^{2}cd^{2}e^{4}g$		155	$-$	$4464$	$abc^{3}d^{2}fg^{2}$		205	$+$	$560$	$b^{4}d^{2}ef^{2}g$
6	$-$	$77760$	$a^{4}defg^{3}$		56	$+$	$15417$	$a^{2}b^{2}d^{2}f^{2}g^{2}$		106	$+$	$144$	$a^{2}cd^{2}e^{3}f^{2}$		156	$-$	$2496$	$abc^{3}de^{2}g^{2}$		206	$-$	$128$	$b^{4}d^{2}f^{4}$
7	$+$	$27000$	$a^{4}df^{3}g^{2}$		57	$+$	$16632$	$a^{2}b^{2}de^{2}fg^{2}$		107	$+$	$729$	$a^{2}d^{6}g^{2}$		157	$+$	$3272$	$abc^{3}def^{2}g$		207	$-$	$630$	$b^{4}de^{3}fg$
8	$-$	$13824$	$a^{4}e^{3}g^{3}$		58	$-$	$12330$	$a^{2}b^{2}def^{3}g$		108	$-$	$486$	$a^{2}d^{5}efg$		158	$-$	$630$	$abc^{3}df^{4}$		208	$+$	$144$	$b^{4}de^{2}f^{3}$
9	$+$	$43200$	$a^{4}e^{2}f^{2}g^{2}$		59	$+$	$2000$	$a^{2}b^{2}df^{5}$		109	$+$	$108$	$a^{2}d^{5}f^{3}$		159	$-$	$96$	$abc^{3}e^{3}fg$		209	$+$	$108$	$b^{4}e^{5}g$
10	$-$	$22500$	$a^{4}ef^{4}g$		60	$-$	$192$	$a^{2}b^{2}e^{4}g^{2}$		110	$+$	$108$	$a^{2}d^{4}e^{3}g$		160	$+$	$24$	$abc^{3}e^{2}f^{3}$		210	$-$	$27$	$b^{4}e^{4}f^{2}$
11	$+$	$3125$	$a^{4}f^{6}$		61	$+$	$248$	$a^{2}b^{2}e^{3}f^{2}g$		111	$-$	$27$	$a^{2}d^{4}e^{2}f^{2}$		161	$+$	$2808$	$abc^{2}d^{3}eg^{2}$		211	$-$	$1600$	$b^{3}c^{3}dg^{3}$
12	$-$	$32400$	$a^{3}b^{2}eg^{4}$		62	$-$	$50$	$a^{2}b^{2}e^{2}f^{4}$		112	$-$	$22500$	$ab^{4}cg^{4}$		162	$-$	$108$	$abc^{2}d^{3}f^{2}g$		212	$+$	$160$	$b^{3}c^{3}efg^{2}$
13	$+$	$540$	$a^{3}b^{2}f^{2}g^{3}$		63	$-$	$21888$	$a^{2}bc^{3}fg^{3}$		113	$+$	$2250$	$ab^{4}dfg^{3}$		163	$-$	$1584$	$abc^{2}d^{2}e^{2}fg$		213	$-$	$36$	$b^{3}c^{3}f^{3}g$
14	$-$	$77760$	$a^{3}bcdg^{4}$		64	$-$	$3456$	$a^{b}c^{2}deg^{3}$		114	$+$	$1500$	$ab^{4}e^{2}g^{3}$		164	$+$	$356$	$abc^{2}d^{2}ef^{3}$		214	$+$	$1020$	$b^{3}c^{2}d^{2}fg^{2}$
15	$+$	$31968$	$a^{3}bcefg^{3}$		65	$+$	$16632$	$a^{2}bc^{2}df^{2}g^{2}$		115	$-$	$1700$	$ab^{4}ef^{2}g^{2}$		165	$+$	$320$	$abc^{2}de^{4}g$		215	$+$	$560$	$b^{3}c^{2}de^{2}g^{2}$
16	$-$	$1800$	$a^{3}bcf^{3}g^{2}$		66	$+$	$15264$	$a^{2}bc^{2}e^{2}fg^{2}$		116	$+$	$320$	$ab^{4}f^{4}g$		166	$-$	$80$	$abc^{2}de^{3}f^{2}$		216	$-$	$746$	$b^{3}c^{2}def^{2}g$
17	$+$	$15552$	$a^{3}bd^{2}fg^{3}$		67	$-$	$13040$	$a^{2}bc^{2}ef^{3}g$		117	$+$	$15600$	$ab^{3}c^{2}fg^{3}$		167	$-$	$486$	$abcd^{5}g^{2}$		217	$+$	$144$	$b^{3}c^{2}df^{4}$
18	$+$	$46656$	$a^{3}bde^{2}g^{3}$		68	$+$	$2250$	$a^{2}bc^{2}f^{5}$		118	$+$	$19800$	$ab^{3}cdeg^{3}$		168	$+$	$324$	$abcd^{4}efg$		218	$+$	$24$	$b^{3}c^{2}e^{3}fg$
19	$-$	$31320$	$a^{3}bdef^{2}g^{2}$		69	$+$	$21384$	$a^{2}bcd^{3}g^{3}$		119	$-$	$12330$	$ab^{3}cdf^{2}g^{2}$		169	$-$	$72$	$abcd^{4}f^{3}$		219	$-$	$6$	$b^{3}c^{2}e^{2}f^{3}$
20	$+$	$2250$	$a^{3}bdf^{4}g$		70	$-$	$22896$	$a^{2}bcd^{2}efg^{2}$		120	$-$	$13040$	$ab^{3}ce^{2}fg^{2}$		170	$-$	$72$	$abcd^{3}e^{3}g$		220	$-$	$630$	$b^{3}cd^{3}eg^{2}$
21	$-$	$21888$	$a^{3}be^{3}fg^{2}$		71	$+$	$1980$	$a^{2}bcd^{2}f^{3}g$		121	$+$	$9768$	$ab^{3}cef^{3}g$		171	$+$	$18$	$abcd^{3}e^{2}f^{2}$		221	$+$	$24$	$b^{3}cd^{3}f^{2}g$
22	$+$	$15600$	$a^{3}be^{2}f^{3}g$		72	$-$	$5760$	$a^{2}bcde^{3}g^{2}$		122	$-$	$1600$	$ab^{3}cf^{5}$		172	$-$	$1024$	$ac^{6}g^{3}$		222	$+$	$356$	$b^{3}cd^{2}e^{2}fg$
23	$-$	$2500$	$a^{3}bef^{5}$		73	$+$	$10152$	$a^{2}bcde^{2}f^{2}g$		123	$-$	$1350$	$ab^{3}d^{3}g^{3}$		173	$+$	$768$	$ac^{5}dfg^{2}$		223	$-$	$80$	$b^{3}cd^{2}ef^{3}$
24	$-$	$13824$	$a^{3}c^{3}g^{4}$		74	$-$	$2050$	$a^{2}bcdef^{4}$		124	$+$	$1980$	$ab^{3}d^{2}efg^{2}$		174	$+$	$512$	$ac^{5}e^{2}g^{2}$		224	$-$	$72$	$b^{3}cde^{4}g$
25	$+$	$46656$	$a^{3}c^{2}dfg^{3}$		75	$-$	$640$	$a^{2}bce^{4}fg$		125	$-$	$208$	$ab^{3}d^{2}f^{3}g$		175	$-$	$576$	$ac^{5}ef^{2}g$		225	$+$	$18$	$b^{3}cde^{3}f^{2}$
26	$-$	$17280$	$a^{3}c^{2}e^{2}g^{3}$		76	$+$	$160$	$a^{2}bce^{3}f^{3}$		126	$-$	$120$	$ab^{3}de^{3}g^{2}$		176	$+$	$108$	$ac^{5}f^{4}$		226	$+$	$108$	$b^{3}d^{5}g^{2}$
27	$-$	$6480$	$a^{3}c^{2}ef^{2}g^{2}$		77	$-$	$6318$	$a^{2}bd^{4}fg^{2}$		127	$-$	$682$	$ab^{3}de^{2}f^{2}g$		177	$-$	$576$	$ac^{4}d^{2}eg^{2}$		227	$-$	$72$	$b^{3}d^{4}efg$
28	$+$	$1500$	$a^{3}c^{2}f^{4}g$		78	$+$	$5832$	$a^{2}bd^{3}e^{2}g^{2}$		128	$+$	$160$	$ab^{3}def^{4}$		178	$+$	$24$	$ac^{4}d^{2}f^{2}g$		228	$+$	$16$	$b^{3}d^{4}f^{3}$
29	$+$	$3888$	$a^{3}cd^{2}eg^{3}$		79	$+$	$3942$	$a^{2}bd^{3}ef^{2}g$		129	$+$	$144$	$ab^{3}e^{4}fg$		179	$+$	$320$	$ac^{4}de^{2}fg$		229	$+$	$16$	$b^{3}d^{3}e^{3}g$
30	$-$	$27540$	$a^{3}cd^{2}f^{2}g^{2}$		80	$-$	$900$	$a^{2}bd^{3}f^{4}$		130	$-$	$36$	$ab^{3}e^{3}f^{3}$		180	$-$	$72$	$ac^{4}def^{3}$		230	$-$	$4$	$b^{3}d^{3}e^{2}f^{2}$
31	$-$	$3456$	$a^{3}cde^{2}fg^{2}$		81	$-$	$4464$	$a^{2}bd^{2}e^{3}fg$		131	$-$	$10560$	$ab^{2}c^{3}eg^{3}$		181	$-$	$64$	$ac^{4}e^{4}g$		231	$+$	$256$	$b^{2}c^{5}g^{3}$
32	$+$	$19800$	$a^{3}cdef^{3}g$		82	$+$	$1020$	$a^{2}bd^{2}e^{2}f^{3}$		132	$+$	$248$	$ab^{2}c^{3}f^{2}g^{2}$		182	$+$	$16$	$ac^{4}e^{3}f^{2}$		232	$-$	$192$	$b^{2}c^{4}dfg^{2}$
33	$-$	$3750$	$a^{3}cdf^{5}$		83	$+$	$768$	$a^{2}bde^{5}g$		133	$-$	$9720$	$ab^{2}c^{2}d^{2}g^{3}$		183	$+$	$108$	$ac^{3}d^{4}g^{2}$		233	$-$	$128$	$b^{2}c^{4}e^{2}g^{2}$
34	$+$	$9216$	$a^{3}ce^{4}g^{2}$		84	$-$	$192$	$a^{2}bde^{4}f^{2}$		134	$+$	$10152$	$ab^{2}c^{2}defg^{2}$		184	$-$	$72$	$ac^{3}d^{3}efg$		234	$+$	$144$	$b^{2}c^{4}ef^{2}g$
35	$-$	$10560$	$a^{3}ce^{3}f^{2}g$		85	$+$	$9216$	$a^{2}c^{4}eg^{3}$		135	$-$	$682$	$ab^{2}c^{2}df^{3}g$		185	$+$	$16$	$ac^{3}d^{3}f^{3}$		235	$-$	$27$	$b^{2}c^{4}f^{4}$
36	$+$	$2000$	$a^{3}ce^{2}f^{4}$		86	$-$	$192$	$a^{2}c^{4}f^{2}g^{2}$		136	$+$	$4816$	$ab^{2}c^{2}e^{3}g^{2}$		186	$+$	$16$	$ac^{3}d^{2}e^{3}g$		236	$+$	$144$	$b^{2}c^{3}d^{2}eg^{2}$
37	$-$	$8748$	$a^{3}d^{4}g^{3}$		87	$-$	$8640$	$a^{2}c^{3}d^{2}g^{3}$		137	$-$	$5428$	$ab^{2}c^{2}e^{2}f^{2}g$		187	$-$	$4$	$ac^{3}d^{2}e^{2}f^{2}$		237	$-$	$6$	$b^{2}c^{3}d^{2}f^{2}g$
38	$+$	$21384$	$a^{3}d^{3}efg^{2}$		88	$-$	$5760$	$a^{2}c^{3}defg^{2}$		138	$+$	$1020$	$ab^{2}c^{2}ef^{4}$		188	$+$	$3125$	$b^{6}g^{4}$		238	$-$	$80$	$b^{2}c^{3}de^{2}fg$
39	$-$	$1350$	$a^{3}d^{3}f^{3}g$		89	$-$	$120$	$a^{2}c^{3}df^{3}g$		139	$+$	$3942$	$ab^{2}cd^{3}fg^{2}$		189	$-$	$2500$	$b^{5}cfg^{3}$		239	$+$	$18$	$b^{2}c^{3}def^{3}$
40	$-$	$8640$	$a^{3}d^{2}e^{3}g^{2}$		90	$-$	$4352$	$a^{2}c^{3}e^{3}g^{2}$		140	$-$	$4536$	$ab^{2}cd^{2}e^{2}g^{2}$		190	$-$	$3750$	$b^{5}deg^{3}$		240	$+$	$16$	$b^{2}c^{3}e^{4}g$
41	$-$	$9720$	$a^{3}d^{2}e^{2}f^{2}g$		91	$+$	$4816$	$a^{2}c^{3}e^{2}f^{2}g$		141	$-$	$2412$	$ab^{2}cd^{2}ef^{2}g$		191	$+$	$2000$	$b^{5}df^{2}g^{2}$		241	$-$	$4$	$b^{2}c^{3}e^{3}f^{2}$
42	$+$	$2250$	$a^{3}d^{2}ef^{4}$		92	$-$	$900$	$a^{2}c^{3}ef^{4}$		142	$+$	$560$	$ab^{2}cd^{2}f^{4}$		192	$+$	$2250$	$b^{5}e^{2}fg^{2}$		242	$-$	$27$	$b^{2}c^{2}d^{4}g^{2}$
43	$+$	$6912$	$a^{3}de^{4}fg$		93	$+$	$5832$	$a^{2}c^{2}d^{3}fg^{2}$		143	$+$	$3272$	$ab^{2}cde^{3}fg$		193	$-$	$1600$	$b^{5}ef^{3}g$		243	$+$	$18$	$b^{2}c^{2}d^{3}efg$
44	$-$	$1600$	$a^{3}de^{3}f^{3}$		94	$+$	$8208$	$a^{2}c^{2}d^{2}e^{2}g^{2}$		144	$-$	$746$	$ab^{2}cde^{2}f^{3}$		194	$+$	$256$	$b^{5}f^{5}$		244	$-$	$4$	$b^{2}c^{2}d^{3}f^{3}$
45	$-$	$1024$	$a^{3}e^{6}g$		95	$-$	$4536$	$a^{2}c^{2}d^{2}ef^{2}g$		145	$-$	$576$	$ab^{2}ce^{5}g$		195	$+$	$2000$	$b^{4}c^{2}eg^{3}$		245	$-$	$4$	$b^{2}c^{2}d^{2}e^{3}g$
46	$+$	$256$	$a^{3}e^{5}f^{2}$		96	$+$	$825$	$a^{2}c^{2}d^{2}f^{4}$		146	$+$	$144$	$ab^{2}ce^{4}f^{2}$		196	$-$	$50$	$b^{4}c^{2}f^{2}g^{2}$		246	$+$	$1$	$b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}f^{2}$
47	$+$	$27000$	$a^{2}b^{3}dg^{4}$		97	$-$	$2496$	$a^{2}c^{2}de^{3}fg$		147	$+$	$162$	$ab^{2}d^{4}eg^{2}$		197	$+$	$2250$	$b^{4}cd^{2}g^{3}$
48	$-$	$1800$	$a^{2}b^{3}efg^{3}$		98	$+$	$560$	$a^{2}c^{2}de^{2}f^{3}$		148	$-$	$108$	$ab^{2}d^{3}e^{2}fg$		198	$-$	$2050$	$b^{4}cdefg^{2}$
49	$+$	$410$	$a^{2}b^{3}f^{3}g^{2}$		99	$+$	$512$	$a^{2}c^{2}e^{5}g$		149	$+$	$24$	$ab^{2}d^{3}ef^{3}$		199	$+$	$160$	$b^{4}cdf^{3}g$
50	$+$	$43200$	$a^{2}b^{2}c^{2}g^{4}$		100	$-$	$128$	$a^{2}c^{2}e^{4}f^{2}$		150	$+$	$24$	$ab^{2}d^{2}e^{4}g$		200	$-$	$900$	$b^{4}ce^{3}g^{2}$

Inne przykłady

Wyróżnikiem trójmianu $ax^{n}+bx+c$ jest

• $D(ax^{n}+bx+c)=\Delta _{n}(a,0,\dots ,0,b,c)=(-1)^{n(n-1)/2}\left((1-n)^{n-1}a^{n-2}b^{n}+n^{n}a^{n-1}c^{n-1}\right).$

Gdy przyjmiemy $b=0,$ to otrzymamy przypadek szczególny dla dwumianu $ax^{n}+c.$ Jako przypadek szczególny wzoru prawdziwego dla $n\geqslant 2,$ jest on spełniony dla tych $n,$ ale nie ma pewności, że także dla $n=1.$ Bezpośrednio sprawdzamy, że pozostaje w mocy dla $n=1.$

• $D(ax^{n}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}a^{n-1}c^{n-1}\quad {}$ dla $n\geqslant 1$

Gdy zaś przyjmiemy $c=0,$ to otrzymamy drugi przypadek szczególny dla dwumianu $ax^{n}+bx.$

$D(ax^{n}+bx)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(1-n)^{n-1}a^{n-2}b^{n}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}$

$=(-1)^{{\frac {n(n-1)}{2}}+n-1}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}=(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}$

• $D(ax^{n}+bx)=(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}\quad {}$ dla $n\geqslant 2$

Ten wynik można otrzymać prościej, korzystając ze wzoru redukcyjnego (patrz następny rozdział) i poprzedniego wyróżnika. $D(ax^{n}+bx)=D((ax^{n-1}+b)x)=b^{2}D(ax^{n-1}+b)=b^{2}(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n-2}$

$=(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}$

Pierwszy wzór na liście ma uogólnienie na dowolny trójmian znalezione przez R.G. Swana (1962).

Niech $n>m>0$ i niech $d=(n,m)$, ${}\ \ n=n_{1}d,\quad m=m_{1}d.$ Wtedy

• $D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}}m^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d}$

Można oznaczyć dodatkowo $s=(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}},$ by wzór miał bardziej zwartą postać

• $D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+sm^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d}$

Dowolny trójmian jednej zmiennej ma postać $ax^{n}+bx^{m}+cx^{l},$ gdzie $n>m>l\geqslant 0.$ Jeżeli $l>1,$ to jego wyróżnik jest równy zeru (pierwiastek wielokrotny $0$), jeżeli $l=0,$ to stosuje się ostatni wzór z listy, a jeżeli $l=1,$ to można zastosować wzór redukcyjny $D(ax^{n}+bx^{m}+cx)=c^{2}D(ax^{n-1}+bx^{m-1}+c)$ i ostatni wyróżnik obliczyć ze wzoru Swana. Znane są zatem ogólne wzory na wyróżnik dowolnego trójmianu i dowolnego dwumianu. Przypadek jednomianu jest trywialny, choć jednomian nie może być dowolny, bo dla stopnia 0 wyróżnik nie jest zdefiniowany.

Zależności między wyróżnikami

Niech ${\widetilde {A}}_{n}$ będzie macierzą $A_{n},$ w której $a_{n}=0$ i podobnie dla ${\widetilde {B}}_{n}.$ W macierzy $L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }$ nie występuje wyraz wolny $a_{n},$ więc pozostaje ona bez zmian, zaś ${\widetilde {B}}_{n}=0,$ co wynika wprost z definicji macierzy $B_{n}.$ Stąd dostajemy

$\Delta _{n}(a_{0},\dots ,a_{n-1},0)=\det {\widetilde {A}}_{n}=\det(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })=\det L_{n}\det A_{n}^{'}\det L_{n}^{\operatorname {T} }.$

Ponieważ $\det L_{n}=a_{n-1},$ to

$\det L_{n}\det A_{n}^{'}\det L_{n}^{\operatorname {T} }=a_{n-1}^{2}\det A_{n}^{'}=a_{n-1}^{2}\det A_{n-1}=a_{n-1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{0},\dots ,a_{n-1}).$

Przeto

$\Delta _{n}(a_{0},\dots ,a_{n-1},0)=a_{n-1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{0},\dots ,a_{n-1})\quad {}$ dla $n\geqslant 2.$

Bardziej znany jest inny dowód tej zależności, w którym nie korzysta się z definicji rekursyjnej.

Przykład

Wyróżnik $\Delta _{4}(a,b,c,d,e)$ wielomianu 4 stopnia ma 16 składników. Gdy przyjąć w nim $e=0,$ to pozostanie tylko 5 składników, a po wyciągnięciu $d^{2}$ przed nawias, w nawiasie otrzymamy wyróżnik $\Delta _{3}(a,b,c,d)$ wielomianu 3 stopnia.

Zachodzi też równość do pewnego stopnia symetryczna względem powyższej. Gdy do wyróżnika $\Delta _{n}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$ podstawimy $a_{0}=0,$ to nie otrzymamy wyróżnika żadnego wielomianu, bo wszystkie rozważania prowadzone są przy założeniu, że wielomian jest stopnia $n,$ to znaczy z $a_{0}\neq 0.$ Tym niemniej, rozpatrując ten wyróżnik jako pewien wielomian zależny od $n+1$ zmiennych, można przyjąć w nim $a_{0}=0$ i rozważyć czym jest otrzymane wyrażenie. Okazuje się, że przy założeniu $a_{1}\neq 0$ spełniona jest równość

$\Delta _{n}(0,a_{1},\dots ,a_{n})=a_{1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{1},\dots ,a_{n})\quad {}$ dla $n\geqslant 2,$

gdzie $\Delta _{n-1}(a_{1},\dots ,a_{n})$ jest wyróżnikiem wielomianu $g(x)=a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}$ stopnia $n-1.$ Poniżej przedstawiony jest tylko przykładowy dowód dla przypadku szczególnego $n=3,$ gdyż uogólnienie na dowolne $n\geqslant 2$ jest oczywiste, choć nieco uciążliwe w zapisie.

Dowód: Wyróżnikiem wielomianu $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ stopnia 3 jest z definicji $\Delta _{3}(a,b,c,d)=-{\frac {1}{a}}\left|{\begin{smallmatrix}a&b&c&d&0\\0&a&b&c&d\\3a&2b&c&0&0\\0&3a&2b&c&0\\0&0&3a&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-\left|{\begin{smallmatrix}1&b&c&d&0\\0&a&b&c&d\\3&2b&c&0&0\\0&3a&2b&c&0\\0&0&3a&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.$

W tej postaci, ze skróconym wyrazem $a$ w mianowniku, możliwe jest już podstawienie w macierzy $a=0,$ więc otrzymujemy $\Delta _{3}(0,b,c,d)=-\left|{\begin{smallmatrix}1&b&c&d&0\\0&0&b&c&d\\3&2b&c&0&0\\0&0&2b&c&0\\0&0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-\left|{\begin{smallmatrix}0&b&c&d\\2b&c&0&0\\0&2b&c&0\\0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|-3\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d&0\\0&b&c&d\\0&2b&c&0\\0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=2b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|-3b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.$ Z drugiej strony, dla wielomianu $g(x)=bx^{2}+cx+d,$ gdzie $b\neq 0,$ mamy z definicji $\Delta _{2}(b,c,d)=-{\frac {1}{b}}\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.$

Zatem $\Delta _{3}(0,b,c,d)=b^{2}\Delta _{2}(b,c,d).$

Dowód ogólny przebiega analogicznie.

Przykład

Przedstawiona zależność jest wyraźnie widoczna, gdy wyróżniki są uporządkowane leksykograficznie, bo wtedy wszystkie składniki, w których występuje najwyższy współczynnik $a,$ znajdują się na początku, a te w których nie występuje – na końcu. W tabeli z wyróżnikiem wielomianu 5 stopnia składniki od 44 do 59, po podzieleniu każdego z nich przez $b^{2},$ utworzą wyróżnik wielomianu $g(x)=bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f.$ Widoczne jest, że wszystkie współczynniki są dokładnie współczynnikami wyróżnika wielomianu 4 stopnia i są wypisane w tej samej kolejności.

Przy bardziej naturalnym indeksowaniu współczynników wielomianu pierwsza zależność ma postać ${}\quad \ \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{1},0)=a_{1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{n},\dots ,a_{1}).$

Może być także zapisana równoważnie w postaci wzoru redukcyjnego

$D(a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x)=a_{1}^{2}D(a_{n}x^{n-1}+\dots +a_{1})\quad {}$ dla $n\geqslant 2$

lub ${}\ D(xf)=f^{2}(0)D(f)\quad {}$ dla $\deg(f)\geqslant 1.$

Podobny zapis w postaci wzoru redukcyjnego dla drugiej zależności nie jest możliwy.

Własności

W tych własnościach $n$ oznacza zawsze stopień odpowiedniego wielomianu, o ile występuje w danej równości.

Własności ogólne

• Gdy $K\subset L\;(L$ jest rozszerzeniem ciała $K)$ i $p\in K[x],$ to także $p\in L[x],$ a wyróżnik nie zależy od ciała, nad którym rozpatrywany jest wielomian $p,$ to znaczy $D_{K}(p)=D_{L}(p).$ Ta niezmienniczość względem rozszerzeń ciała $K$ wynika stąd, że wyróżnik zależy tylko od stopnia i współczynników wielomianu.
• $D(p)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $p$ ma pierwiastki wielokrotne
• $D(pq)=D(p)D(q)R^{2}(p,q)\quad {}$ dla $\deg(p),\,\deg(q)\geqslant 1,\ R$ – rugownik
• $D(\alpha p)=\alpha ^{2n-2}D(p)\quad {}$ dla $\alpha \neq 0$

Własności przy zamianie zmiennej

• $D(f(x+\beta ))=D(f(x))$
• $D(f(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}D(f(x))\quad {}$ dla $\alpha \neq 0$

Ponieważ $\alpha x+\beta =\alpha (x+\beta /\alpha ),$ to dwie ostatnie własności można zapisać jako jedną ogólniejszą.

• $D(f(\alpha x+\beta ))=\alpha ^{n(n-1)}D(f(x))\quad {}$ dla $\alpha \neq 0$

Własność 2, nazywana powyżej podstawową, decyduje o najczęstszych zastosowaniach wyróżnika. Własności od 2 do 6 łatwo wynikają z drugiej definicji z wyznacznikiem Vandermonda.

Pierwiastki wielomianu

Stopnie 1 i 2

Wielomian $p(x)=ax+b$ stopnia 1, nad dowolnym ciałem $K,$ ma zawsze pierwiastek $x_{1}=-b/a$ i ten jedyny pierwiastek należy do ciała $K.$

Wielomian $p(x)=ax^{2}+bx+c$ stopnia 2 nad ciałem $K$ o charakterystyce różnej od 2 (na przykład nad ciałem liczbowym) ma pierwiastki w $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele $K.$ Jeżeli jest kwadratem, to pierwiastki wyrażają się dobrze znanym wzorem $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$ a jeżeli nie jest, to wielomian jest nierozkładalny w $K.$

Dowód tego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu dla ciała liczb rzeczywistych – przez wydzielenie z trójmianu pełnego kwadratu.

Jeśli $K=\mathbb {R}$ jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w $\mathbb {R} ,$ gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już w ciele liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ jest inaczej: trójmian $x^{2}-3x+2$ ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik $\Delta =1$ jest kwadratem w ciele $\mathbb {Q} ;$ trójmian $x^{2}-3x+1$ ma dodatni wyróżnik $\Delta =5,$ więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Gdy charakterystyka ciała $\chi (K)=2,$ to $\Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}-4ac=b^{2},$ bo w takich ciałach $4=0.$ Zatem wyróżnik jest zawsze kwadratem, a mianowicie elementu $b\ \ (-b=b,$ bo $-1=1).$ Można jednak wskazać trójmian kwadratowy, który nie ma pierwiastków w $K,$ co wyjaśnia założenie o charakterystyce w powyższym twierdzeniu.

Oczywiście do sprawdzenia krotności pierwiastków wciąż można (jak zawsze) posłużyć się wyróżnikiem. Wielomian $p,$ jak wyżej, ma jeden pierwiastek dwukrotny wtedy i tylko wtedy, gdy $b=0.$ W przypadku ciała skończonego pierwiastek dwukrotny jest elementem tego ciała.

Wielomiany w $\mathbb {R} [x]$

W tym podrozdziale stale obowiązuje założenie, że wielomian $f$ jest nad ciałem liczb rzeczywistych, czyli $f\in \mathbb {R} [x].$ Domknięciem algebraicznym ciała $\mathbb {R}$ jest ciało liczb zespolonych $\mathbb {C} ,$ więc każdy wielomian ma wszystkie pierwiastki w $\mathbb {C} .$ Wielomianami nierozkładalnymi w $\mathbb {R}$ mogą być jedynie wielomiany 1 i 2 stopnia, więc każdy wielomian $f$ dodatniego stopnia rozkłada się w $\mathbb {R}$ na iloczyn wielomianów nierozkładalnych co najwyżej 2 stopnia. Jeżeli pewien czynnik w rozkładzie ma stopień 2, to jego dwa pierwiastki w ciele $\mathbb {C}$ są wzajemnie sprzężonymi liczbami zespolonymi, oczywiście nie rzeczywistymi. Zatem wszystkie pierwiastki nie rzeczywiste wielomianu, o ile takie istnieją, występują w parach sprzężonych. W przypadku gdy pierwiastek pary ma krotność większą niż 1, to także sprzężony z nim w parze ma tę samą krotność, więc można mówić o krotności całej pary pierwiastków.

Z wartości wyróżnika wielomianu można uzyskać pewną informację jakościową o pierwiastkach, tzn. o liczbie pierwiastków rzeczywistych, liczbie par zespolonych, ich krotnościach, bez obliczania tych pierwiastków. Jednak informacja otrzymana z samej wartości wyróżnika jest tym bardziej niekompletna, im większy jest stopień wielomianu. Do dokładnego rozpoznania potrzebne są inne metody.

Niech $\nu (f)$ oznacza liczbę par nie rzeczywistych pierwiastków sprzężonych wielomianu $f$ z uwzględnieniem krotności par. Zachodzi ogólne twierdzenie dla wielomianów dowolnego stopnia dodatniego.

Jeżeli $D(f)>0,$ to $\nu (f)$ jest liczbą parzystą (dopuszczalne 0), a jeżeli $D(f)<0,$ to $\nu (f)$ jest liczbą nieparzystą.

Założenia tego twierdzenia wykluczają pierwiastki wielokrotne.

Poniżej przedstawione są wnioski dla szczególnych przypadków niskich stopni. Stopień 2, omówiony już w poprzednim podrozdziale, został także włączony dla kompletności.

  Stopień 2

• $D(f)>0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste
• $D(f)=0$   –   1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny
• $D(f)<0$   –   1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 3

• $D(f)>0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste
• $D(f)=0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny
• $D(f)<0$   –   1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 4

• $D(f)>0$   –   4 różne pierwiastki rzeczywiste lub 2 pary pierwiastków zespolonych sprzężonych
• $D(f)=0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste oba dwukrotne lub
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}$ 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 trzykrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty czterokrotny lub
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}$ 1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny i 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}$ lub 1 para dwukrotna pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• $D(f)<0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 5

• $D(f)>0$   –   5 różnych pierwiastków rzeczywistych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 pary pierwiastków zespolonych
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;{}$ sprzężonych
• $D(f)=0$   –   6 przypadków z pierwiastkami tylko rzeczywistymi lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny i
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}$ 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny i 1 para
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para dwukrotna
  ${}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• $D(f)<0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

Zastosowania, przykłady rachunkowe

We wzorach na wyróżniki, a także w innych wzorach, występują współczynniki całkowite. Oznaczają one sumę odpowiedniej liczby jedynek ciała $K,$ tzn. $m=1+\dots +1$ ($m$ jedynek). Jeżeli $\chi (K)\neq 0,$ to pewne sumy jedynek zerują się. Gdy $\chi (K)=3,$ to $8=(1+1+1)+(1+1+1)+1+1=0+0+2=2.$ Dlatego te współczynniki trzeba redukować modulo $\chi (K).$ Na przykład wyróżnik $\Delta _{3}(a,b,c,d)$ upraszcza się w tym przypadku następująco: $-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}=-1ac^{3}-1b^{3}d+b^{2}c^{2}=-ac^{3}-b^{3}d+b^{2}c^{2}$ i podobnie w innych przypadkach.

Przykład 1

Niech $f(x)=x^{5}-6x+3,\quad f\in \mathbb {R} [x].$ Zbadajmy jakiego rodzaju są pierwiastki tego wielomianu. Można posłużyć się pełnym wyróżnikiem zamieszczonym w tabeli powyżej, ale wygodniej skorzystać z gotowego wzoru.

$\Delta _{5}(a,0,0,0,b,c)=(-1)^{(5\cdot 4)/2}\left((-4)^{4}a^{3}b^{5}+5^{5}a^{4}c^{4}\right)=5^{5}a^{4}c^{4}+4^{4}a^{3}b^{5},$ więc

${\begin{aligned}D(f)&=\Delta _{5}(1,0,0,0,-6,3)=5^{5}3^{4}+4^{4}(-6)^{5}=3125\cdot 81-256\cdot 7776=253125-1990656\\&=-1737531<0.\end{aligned}}$

Stąd wnioskujemy, że wielomian $f$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste i jedną parę pierwiastków zespolonych sprzężonych. Ten wynik można otrzymać także innymi sposobami, ale zastosowanie wyróżnika jest najszybsze.

Przykład 2

Wypiszmy wszystkie wielomiany 2 stopnia nad ciałem $\mathrm {F} _{2}.$ Każdy niezerowy wielomian w $\mathrm {F} _{2}[x]$ jest moniczny, więc są one postaci $x^{2}+bx+c,$ gdzie $b$ i $c$ mogą przybierać wartości 0 lub 1. Są więc 4 takie wielomiany.

$f_{1}=x^{2},\quad f_{2}=x^{2}+1,\quad f_{3}=x^{2}+x,\quad f_{4}=x^{2}+x+1.$

$\Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}=b.$ Ostatnia równość wynika stąd, że $b^{2}=b$ dla każdego $b\in \mathrm {F} _{2}.$

Zatem $D(f_{1})=D(f_{2})=0$ i $D(f_{3})=D(f_{4})=1.$

Istotnie, $f_{1}=(x-0)^{2}$ ma pierwiastek dwukrotny $0,$

$(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1=x^{2}+1$ (bo $2=0$), więc $f_{2}$ ma pierwiastek dwukrotny $1.$

Natomiast $(x-0)(x-1)=x^{2}-x=x^{2}+x=f_{3},$ więc $f_{3}$ ma dwa różne pierwiastki $0$ i $1.$

Przez bezpośrednie podstawienie przekonujemy się, że wielomian $f_{4}$ nie ma pierwiastków w $\mathrm {F} _{2}.$ Aby sprawdzić, że w swoim ciele rozkładu (jest nim $\mathrm {F} _{4}=\mathrm {F} _{2^{2}}$) ma dwa różne pierwiastki, obliczmy pochodną $f_{4}'=2x+1=1.$ Wielomian $f_{4}$ nie ma wspólnego pierwiastka ze swą pochodną (bo ona w ogóle nie ma pierwiastków), więc nie ma pierwiastka dwukrotnego w $\mathrm {F} _{4}.$

Ten przykład jest ilustracją uniwersalności wyróżnika. Metody stosowane w przypadku charakterystyki 2 mają własną specyfikę i różnią się znacznie od metod dla innych charakterystyk, ale wyróżnik jest na to niewrażliwy i daje zawsze właściwe wyniki niezależnie od charakterystyki ciała.

Następny przykład dotyczy ciała $\mathrm {F} _{9},$ więc przydatne mogą być najbardziej podstawowe wiadomości o tym ciele przedstawione poniżej. Są one wystarczające, by snadnie wykonywać rachunki arytmetyczne w $\mathrm {F} _{9}.$ Ciało $\mathrm {F} _{9}$ zawiera ciało proste $\mathrm {F} _{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ i jest jego rozszerzeniem 2 stopnia. Może być otrzymane przez dołączenie pierwiastka monicznego wielomianu nierozkładalnego 2 stopnia z $\mathrm {F} _{3}[x].$ Wybierzmy wielomian $x^{2}+1$ (nierozkładalny, bo nie ma pierwiastka w $\mathrm {F} _{3}$). Jego pierwiastek $\alpha$ spełnia więc równanie $\alpha ^{2}=-1.$ Nazwijmy go raczej $i$ – przecież dołączyliśmy pierwiastek z $-1.$ Każdy element ciała $\mathrm {F} _{9}=\mathrm {F} _{3}(i),$ jako przestrzeni liniowej nad $\mathrm {F} _{3}$ wymiaru 2 z bazą $\{1,i\},$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci $a+bi,$ gdzie $a,b\in \mathrm {F} _{3}.$ Te elementy dodajemy i mnożymy w zwykły sposób, z tym tylko, że $i^{2}$ zastępujemy wszędzie przez $-1.$ Jest to bardzo podobne do działań na liczbach zespolonych, z tą różnicą, że działania arytmetyczne na współczynnikach $a$ i $b$ odbywają się według zasad obowiązujących w małym ciele $\mathrm {F} _{3}.$ Jego elementami są $0,1$ i $2,$ ale wygodnie jest stosować w zapisie $0,1$ i $-1,$ bo $2=-1.$

Znajdźmy dla przykładu element odwrotny do $1+i.$

${\frac {1}{1+i}}={\frac {1}{1+i}}\cdot {\frac {1-i}{1-i}}={\frac {1-i}{1-i^{2}}}={\frac {1-i}{2}}={\frac {1-i}{-1}}=-1(1-i)=-1+i.$

Przykład 3

Sprawdźmy, czy wielomian $ix^{2}+ix+1+i\in \mathrm {F} _{9}[x]$ ma pierwiastki w $\mathrm {F} _{9}$ i jeśli tak, to obliczmy je.

W grupie multyplikatywnej $\mathrm {F} _{9}^{*}$ są 4 kwadraty, więc wypiszmy je, podnosząc do kwadratu elementy każdej z 4 par elementów wzajemnie przeciwnych

$1^{2}=(-1)^{2}=1$

$i^{2}=(-i)^{2}=-1$

$(1+i)^{2}=(-1-i)^{2}=1+2i-1=2i=-i$

$(1-i)^{2}=(-1+i)^{2}=1-2i-1=-2i=i.$

Zatem kwadratami są prawe strony tych równości: $1,-1,i,-i,$ a w całym $\mathrm {F} _{9}$ jeszcze $0.$

To umożliwia już zastosowanie wzorów na pierwiastki.

$\Delta =\Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}-4ac=b^{2}-ac,$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{-a}}=-{\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}={\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}.$

Otrzymane wzory na wyróżnik i pierwiastki

$\Delta =b^{2}-ac,\qquad x_{1,2}={\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}$

stosują się w każdym ciele o charakterystyce 3 (także nieskończonym).

Dla danego wielomianu mamy $\Delta =i^{2}-i(1+i)=-1-i+1=-i,$ skąd wnioskujemy, że ma on pierwiastki w $\mathrm {F} _{9},$ bo $-i$ jest kwadratem. Jako pierwiastek arytmetyczny z wyróżnika weźmy dowolny z pary, np. $1+i.$

$x_{1}={\frac {i+1+i}{i}}={\frac {1+2i}{i}}=-i(1-i)=-1-i,\quad x_{2}={\frac {i-1-i}{i}}={\frac {-1}{i}}=i$

i otrzymujemy rozkład wielomianu: $i(x-i)(x+1+i).$

Ten przykład przedstawia jedno z zastosowań wyróżnika. Droga do rozwiązania równania kwadratowego wiedzie poprzez obliczenie odpowiedniego wyróżnika i znalezienie jego pierwiastka arytmetycznego.

Przykład 4

Wypiszmy dla wygody rachunków wzór na wyróżnik trójmianu $D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+sm^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d},$
gdzie $d=(n,m),\quad n=n_{1}d,\quad m=m_{1}d,\quad s=(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}},$ i obliczmy wyróżnik trójmianu $ax^{6}+bx^{3}+c.$

Mamy tutaj $n=6,\quad m=3,\quad d=(6,3)=3,\quad n_{1}=2,\quad m_{1}=1,\quad s=-(6-3)^{2-1}=-3,$ więc

${\begin{aligned}&D(ax^{6}+bx^{3}+c)=-a^{2}c^{2}{\big (}6^{2}ac-3\cdot 3^{1}b^{2}{\big )}^{3}=-a^{2}c^{2}{\big (}6^{2}ac-3^{2}b^{2}{\big )}^{3}=-3^{6}a^{2}c^{2}{\big (}4ac-b^{2}{\big )}^{3}\\&=-729a^{2}c^{2}{\big (}64a^{3}c^{3}-48a^{2}b^{2}c^{2}+12ab^{4}c-b^{6}{\big )}\\&=-46656a^{5}c^{5}+34992a^{4}b^{2}c^{4}-8748a^{3}b^{4}c^{3}+729a^{2}b^{6}c^{2}.\end{aligned}}$

Możemy też skorzystać z pełnego wyróżnika w tabeli z wyróżnikiem wielomianu 6 stopnia. Dostosujmy oznaczenia współczynników danego wielomianu do oznaczeń w tabeli (nie odwrotnie!). $D(ax^{6}+dx^{3}+g)=\Delta _{6}(a,0,0,d,0,0,g).$

Po odrzuceniu składników, w których występuje współczynnik $b,c,e$ lub $f,$ pozostają tylko 4 składniki o numerach porządkowych 1, 5, 37 i 107, a wynik jest identyczny.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia

Bibliografia

• Ernest BorisovichE.B. Vinberg Ernest BorisovichE.B., A Course in Algebra, AlexanderA. Retakh (tłum.), tom 56, Providence, Rhode Islands: American Mathematical Society, 2003 (Graduate Studies in Mathematics), ISBN 0-8218-3318-9, ISSN 1065-7339  (ang.).
• Victor Vasilevich Prasolov: Polynomials. T. 11. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2004, seria: Algorithms and Computation in Mathematics. DOI: 10.1007/978-3-642-03980-5. ISBN 978-3-540-40714-0. LCCN 2009935697. ISSN 1431-1550. (ang.).
• Benjamin Fine, Anthony M. Gaglione, Gerhard Rosenberger: Introduction to Abstract Algebra: From Rings, Numbers, Groups, and Fields to Polynomials and Galois Theory. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2014. ISBN 978-1-4214-1176-7. LCCN 2013937859. (ang.).
• Neal Koblitz: Wykład z teorii liczb i kryptografii. z ang. tłumaczył prof. Wojciech Guzicki, UW. Wyd. 2 ang.,1 pol. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995. ISBN 83-204-1836-4.

Linki zewnętrzne

• MichałM. Miśkiewicz MichałM., Po co nam ∆?, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, czerwiec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Discriminant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Discriminant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].