Subróżniczka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Funkcja wypukła (niebieski) i „podstyczne” w x0 (czerwony).

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Motywacja[edytuj]

Niech będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem jest nieróżniczkowalna dla Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja[edytuj]

Subpochodną funkcji wypukłej w punkcie należącym do przedziału otwartego nazywa się taką liczbę rzeczywistą że

dla każdego należącego do Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie jest niepustym przedziałem domkniętym gdzie oraz oznaczają granice jednostronne

oraz

które zawsze istnieją i spełniają

Zbiór wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji w punkcie

Przykłady[edytuj]

Niech dana będzie funkcja wypukła Jej subróżniczką w początku układu jest przedział subróżniczka w dowolnym punkcie jest równa zbiorowi jednoelementowemu zaś w punktach jest nią zbiór

Własności[edytuj]

  • Funkcja wypukła jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w
  • Punkt jest minimum globalnym funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu w punkcie Własność ta jest uogólnieniem faktu, iż pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient[edytuj]

 Zobacz też: gradient (matematyka).

Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej to wektor tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie należącym do jeśli dla każdego z zachodzi

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w nazywa się subróżniczką w i oznacza symbolem Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej Funkcjonał należący do przestrzeni sprzężonej nazywa się subgradientem w należącym do jeżeli

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie nazywa się subróżniczką w i także oznacza symbolem Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.