Twierdzenie Baire’a

Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie zupełną przestrzenią topologiczną i niech $F_{1},F_{2},\dots \subseteq X$ będzie przeliczalną rodziną domkniętych zbiorów nigdziegęstych. Niech $E$ oznacza sumę mnogościową tych zbiorów:

$E=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \cup F_{k}\cup \cdots$

Wówczas $E$ jest zbiorem brzegowym.

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej $\left(X,d\right)$ każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech $A$ będzie zbiorem I kategorii, czyli $A=\bigcup \limits _{n}A_{n}$ gdzie $A_{n}$ jest nigdziegęsty dla dowolnego $n\in \mathbb {N} .$ Pokażemy, że $A$ jest brzegowy, czyli ${\overline {X\backslash A}}=X.$

Niech $K_{0}$ będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że $K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .$ Skoro $A_{1}$ jest nigdziegęsty, to istnieje kula $K_{1}\subset K_{0},$ że $K_{1}\cap A_{1}=\emptyset .$ Możemy przyjąć, że $K_{1}$ jest kulą domkniętą oraz $\delta (K_{1})<1$ (gdzie $\delta$ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli $K_{1}$ znajdziemy kulę domkniętą $K_{2},$ że $K_{2}\cap A_{2}=\emptyset$ i $\delta (K_{2})<{\frac {1}{2}}.$

Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych $\{K\}_{n}$ taki, że: dla dowolnego $n\in \mathbb {N}$ mamy: $K_{n}\cap A_{n}=\emptyset ,$ $K_{n+1}\subset K_{n},$ $\delta (K_{n})<{\frac {1}{n}}.$ Z twierdzenia Cantora, mamy:

$\bigcap \limits _{n}K_{n}\neq \emptyset .$

Zatem: $\emptyset \neq \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset \bigcap \limits _{n}(X\backslash A_{n})=X\backslash \bigcup \limits _{n}A_{n}=X\backslash A$

oraz

$\bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0},$

więc

$\bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .$ $\square$

Zastosowania

Twierdzenie Baire’a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire’a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych

Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku $[0,1],$ które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech $C[0,1]$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku $[0,1]$ z normą supremum. Ponadto niech dla wszelkich liczb naturalnych $k\geqslant 1$ dany będzie zbiór

$N_{k}=\left\{f\in C[0,1]\colon \,\exists _{x\in [0,1]}\ \forall _{h\neq 0}\ \left|{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right|\leqslant k\right\}.$

Zbiory $N_{k}$ ($k$ jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech $(f_{n})$ będzie ciągiem funkcji ze zbioru $N_{k}$ zbieżnym do pewnej funkcji $f\in C[0,1].$ Niech $x_{n}$ będzie punktem dla którego funkcja $f_{n}$ spełnia warunek w definicji zbioru $N_{k}$ oraz niech $x_{0}$ będzie punktem skupienia ciągu $(x_{n})$ (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka $[0,1]$). Wówczas funkcja graniczna $f$ spełnia warunek określający zbiór $N_{k}$ w punkcie $x_{0},$ tj. $f\in N_{k},$ co dowodzi domkniętości.

Niech $A$ będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w $C[0,1].$ Ponadto każdą funkcję ze zbioru $A,$ można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru $N_{k}.$ Wynika stąd, iż

$C[0,1]={\overline {A}}\subseteq {\overline {C[0,1]\setminus N_{k}}}\;\;(k\in \mathbb {N} ),$

co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów $N_{k}$ ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory $N_{k}$ są brzegowe.

Każdy ze zbiorów $N_{k}$ jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że

$\bigcup _{k=1}^{\infty }N_{k}\neq C[0,1].$

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru $N_{k},$ a zatem zbiór funkcji ciągłych na $[0,1]$ które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku $[0,1]$ bez pochodnych w żadnym punkcie. $\square$

Zobacz też

• przestrzeń Baire’a
• twierdzenie Banacha-Steinhausa
• własność Baire’a
• zbiór nigdziegęsty
• zbiór pierwszej kategorii