Zbiór nigdziegęsty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór przestrzeni nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

.

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni .

Definicja formalna[edytuj]

Zbiór jest nigdziegęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym można znaleźć niepusty podzbiór otwarty , rozłączny z (tj. ).

Własności[edytuj]

  • Rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów tworzy właściwy ideał podzbiorów , tzn
jeśli , to , oraz
jeśli i , to , oraz
.
  • Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
  • Jeśli i jest nigdziegęsty w (tzn gdy jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to .
  • Załóżmy, że oraz albo jest gęstym podzbiorem lub jest otwarty w . Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykłady[edytuj]

  • Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
  • Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ).
  • Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory które mają dodatnią miarę Lebesgue'a, np zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku odcinków długości .

Uogólnienia[edytuj]

-zbiory[edytuj]

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie -zbiorów.

Powiemy, że podzbiór prostej rzeczywistej jest -zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z .

Zbiory tworzą -ideał podzbiorów .

Zbiory -nigdziegęste[edytuj]

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni . Powiemy, że zbiór jest -nigdziegęsty jeśli każdy element zawiera podzbiór rozłączny z .

Jeśli jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów , to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory . Jeżeli jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś , to otrzymujemy z kolei -zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też[edytuj]