Średnia Stolarskiego

Średnia Stolarskiego – średnia, której szczególnymi przypadkami jest wiele klasycznych średnich, zdefiniowana dla ustalonego parametru p oraz dodatnich argumentów wzorem

$S_{p}(x,y)={\begin{cases}x&{\text{jeśli }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{wpp.}}\end{cases}}.$

Gdzie parametr $p\in \mathbb {R} /\{0,1\}.$

Można pokazać, że tak zdefiniowana funkcja jest średnią jej argumentów stosując twierdzenia Lagrange’a dla liczb x i y oraz funkcji $f(x)=x^{p}.$

Szczególne przypadki

• $\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)$ jest minimum.
• $S_{-1}(x,y)$ jest średnią geometryczną.
• $\lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)$ jest średnią logarytmiczną.
• $S_{\frac {1}{2}}(x,y)$ jest średnią potęgową dla wykładnika ½.
• $S_{2}(x,y)$ jest średnią arytmetyczną.
• $\lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)$ jest maksimum.

Bibliografia

• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87-92
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Stolarsky Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).