Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora[1].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku[1].

Twierdzenie Lagrange’a[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dana funkcja jest

to istnieje taki punkt że:

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Lagrangea.svg

Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:

Wartość średnia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że:

Mamy wtedy:

oraz

A więc:

czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt taki, że z drugiej strony mamy i stąd otrzymujemy Dlatego też

Historia[edytuj | edytuj kod]

Specjalny przykład tego twierdzenia został po raz pierwszy opisany przez Parameshvara (1380–1460), z szkoły Kerala Astronomii i Matematyki w Indiach, w swoich komentarzach do Govindasvāminiego i Bhaskaraćarja[potrzebny przypis]. Ograniczona forma tego twierdzenia została udowodniona przez Michela Rolle'a w 1691; wynikiem tego było twierdzenie Rolle'a, które zostało udowodnione tylko dla wielomianów, bez użycia rachunku różniczkowego. Twierdzenie Lagrange’a w dzisiejszej formie zostało stwierdzone i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823. Wiele wariacji tego twierdzenia zostało udowodnione od tamtego czasu.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy w miejscu i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z do zera daje, dzięki ciągłości funkcji tezę.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Lagrange’a twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-06-20].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]