Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich a i b, oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez AGM(a,b) lub M(a,b), nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

gdzie a0 = a oraz b0 = b, przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych a, b rzeczywistych dodatnich, ponieważ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów (an) i (bn) dążą do zera:

Z samej konstrukcji mamy:

Przykład[edytuj]

Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb i , najpierw wyliczamy wartości średnich:

i dalej rekurencyjnie:

Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy:

0 24 6
1 15 12
2 13,5 13,416407864998738178455042…
3 13,458203932499369089227521… 13,458139030990984877207090…
4 13,458171481745176983217305… 13,458171481706053858316334…
5 13,458171481725615420766820… 13,458171481725615420766806…

Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem. Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544[1].

Własności[edytuj]

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

Wielkość nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

czyli w szczególności dla 0 < x < 1

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

gdzie

oraz i , zaś an i bn dla n > 0 otrzymujemy ze wzorów powyżej.

Bibliografia[edytuj]

  • L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ​ISBN 0-387-98946-3

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy