Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + …

Kilka pierwszych tysięcy wyrazów sum częściowych szeregu 1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + · · · w matematyce jest to nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma m-tą sumę częściową tego szeregu wyrazić wzorem:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Szereg ten jest rozbieżny, tzn. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych, tj. nie istnieje granica ciągu 1 − 2 + 3 − 4 + ….

Mimo to, w połowie XVIII wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Ścisłe objaśnienie tego równania pojawiło się jednak znacznie później. Dopiero po 1890 roku Ernesto Cesàro, Émile Borel i inni badali ściśle określone metody przypisywania uogólnionych sum szeregom rozbieżnym – w tym obejmujące nowe interpretacje prób Eulera. Mimo wszystko wiele tych metod łatwo przypisuje szeregowi 1 − 2 + 3 − 4 + … "sumę" ${\tfrac {1}{4}}$. Sumowalność metodą Cesàro jest jedną z kilku metod, które nie definiują sumy dla szeregu 1 − 2 + 3 − 4 + … tak, że szereg jest przykładem wymagającym metody nieco silniejszej, takiej jak sumowalność metodą Abela.

Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … jest blisko związany z szeregiem Grandiego 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler omawiał je jako specjalne przypadki 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … dla dowolnego n. Ten kierunek badań rozszerzył jego prace na problem bazylejski, wiodąc ku równaniom funkcyjnym, których rozwiązania dziś znane są jako funkcja "eta" Dirichleta oraz funkcja "dzeta" Riemanna.

Rozbieżność

Kolejne wyrazy ciągu (1, −2, 3, −4, …) nie zbliżają się do zera; stąd, na mocy twierdzenia przeciwstawnego do warunku koniecznego zbieżności szeregu, szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … jest rozbieżny. Dla dalszego wywodu przyda się wyjaśnić tę rozbieżność w sposób bardziej podstawowy. Z definicji zbieżność albo rozbieżność szeregu wynika ze zbieżności albo rozbieżności ciągu jego sum częściowych, zaś ciągiem sum częściowych szeregu 1 − 2 + 3 − 4 + … jest:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

Ciąg ten ma za wyrazy wszystkie liczby całkowite (również 0, jeśli uwzględnić sumę pustą – por. Dodawanie#Zapis oraz liczba składników), ustala więc przeliczalność zbioru ${\mathbb {Z}}$ liczb całkowitych. Ciąg sum częściowych wyraźnie pokazuje, że szereg nie jest zbieżny do żadnej konkretnej liczby (dla każdej zaproponowanej granicy x, można wskazać punkt, poza którym kolejne częściowe sumy są poza przedziałem [x-1, x+1]), a więc 1 − 2 + 3 − 4 + … jest rozbieżny.

Heurystyki dla sumowania

Stabilność i liniowość

Ponieważ kolejne wyrazy 1, −2, 3, −4, 5, −6, … tworzą prosty wzór, szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … może być manipulowany poprzez przesunięcia i term-by-term addition, aby uzyskać wartość numeryczną. Jeśli ma sens zapisanie s = 1 − 2 + 3 − 4 + … dla pewnej liczby, to następujące manipulacje wykazują, że s = Szablon:Uł:

${\begin{array}{rcllllll}4s&=&&(\color {Gray}1-2+3-4+\cdots \color {Black})&+(\color {BrickRed}1-2+3-4+\cdots \color {Black})&+(\color {OliveGreen}1-2+3-4+\cdots \color {Black})&+(\color {Blue}1-2+3-4+\cdots \color {Black})\\&=&\color {BrickRed}1\color {Black}+\color {OliveGreen}1\color {Black}+(\color {Blue}1-2\color {Black})+&(\color {Gray}1-2+3-4+\cdots \color {Black})&+(\color {BrickRed}-2+3-4+5+\cdots \color {Black})&+(\color {OliveGreen}-2+3-4+5+\cdots \color {Black})&+(\color {Blue}3-4+5-6\cdots \color {Black})\\&=&1+[&(\color {Gray}1\color {BrickRed}-2\color {OliveGreen}-2\color {Blue}+3\color {Black})&+(\color {Gray}-2\color {BrickRed}+3\color {OliveGreen}+3\color {Blue}-4\color {Black})&+(\color {Gray}3\color {BrickRed}-4\color {OliveGreen}-4\color {Blue}+5\color {Black})&+(\color {Gray}-4\color {BrickRed}+5\color {OliveGreen}+5\color {Blue}-6\color {Black})&+\cdots ]\\&=&1+[&0&+0&+0&+0&+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

Suma 4 kopii szeregu 1 − 2 + 3 − 4 + …, przy wykorzystaniu tylko przesunięć i term-by-term addition, wynosi 1. Lewa i prawa strona rysunku reprezentują dwie kopie 1 − 2 + 3 − 4 + …, które są upraszczane do równania 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Stąd $s={\frac {1}{4}}$. Sposób postępowania został przedstawiony graficznie na rysunku po prawej stronie.

Chociaż 1 − 2 + 3 − 4 + … nie posiada sumy w zwyczajnym znaczeniu, równanie s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = Szablon:Uł może zostać uznane jako najbardziej naturalne rozwiązanie, jeśli suma miałaby zostać określona. Uogólnioną definicję "sumy" szeregu rozbieżnego nazywa się metodą sumowania, która dodaje pewne podzbiory ze wszystkich możliwych szeregów. Istnieje wiele różnych metod (kilka z nich jest opisanych poniżej), charakteryzowanych na podstawie właściwości, które współdzielą ze zwykłym dodawaniem. Powyższe manipulacje dowodzą tego, że: biorąc pod uwagę metodę sumowania, która jest stabilna i liniowa oraz sumuje szereg 1 − 2 + 3 − 4 + …, otrzymujemy Szablon:Uł. Dodatkowo, ponieważ:

${\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\{\frac {1}{2}}&=&&1-1+1-1\cdots \\\end{array}}$

metoda ta musi również sumować Szereg Grandiego jako 1 − 1 + 1 − 1 + … = Szablon:Uł.

Iloczyn Cauchy'ego

W 1891 roku Ernesto Cesàro wyraził nadzieję, że szeregi rozbieżne będzie można poddać ścisłej analizie wskazując na tożsamość (1 -1 +1 -1 + ...)² = 1 - 2 + 3 - 4 + ... i twierdząc, że obie strony tej równości są równe Szablon:Uł. Dla Cesàro to równanie stanowiło zastosowanie twierdzenia, które opublikował rok wcześniej, i które można określić jako pierwsze twierdzenie w historii o sumowaniu rozbieżnych szeregów. Szczegóły na temat tej metody są przedstawione niżej; głównym pomysłem jest to, że 1 - 2 + 3 - 4 + ... jest iloczynem Cauchy'ego z 1 -1 +1 -1 + ... i 1 -1 +1 -1 + ... .

Plik:Pm1234 Cauchy.svg

1 − 2 + 3 − 4 + ... jako iloczyn Cauchy'eho 1 − 1 + 1 − 1 + ... ze sobą

Iloczyn Cauchy'ego dwóch nieskończonych szeregów jest zdefiniowany nawet jeśli oba szeregi są rozbieżne. W tym przypadku, gdzie Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, wyrazy iloczynu Caychy'ego są wyznaczane jako skończone sumy na przekątnych

${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}$

stąd ostateczne wyrazy szeregu wynoszą

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots$

Zatem metoda sumowania, która zachowuje iloczyn Cauchy'ego i sumuje 1 -1 +1 -1 + ... = Szablon:Uł będzie również sumować 1 - 2 + 3 - 4 + ... = Szablon:Uł. Z wynikami z poprzedniej sekcji to oznacza równoważność między sumowalnością 1 -1 +1 -1 + ... i 1 - 2 + 3 - 4 + ... z metodami, które są liniowe, stabilne i zachowują iloczyn Cauchy'ego.

Twierdzenie Cesàro jest subtelnym przykładem. Szereg 1 -1 +1 -1 + ... jest sumowalny w najsłabszym sensie, określanym mianem (C, 1), natomiast 1 - 2 + 3 - 4 + ... wymaga silniejszego wariantu twierdzenia, którym jest (C, 2). Ponieważ cała rodzina sumowań (C, α) jest liniowa i stabilna to obliczone wartości sum są takie jak wyżej.

Metody specjalne

Cesàro and Hölder

Aby znaleźć sumę Cesàro (C, 1) z 1 - 2 + 3 - 4 + ..., jeśli istnieje, trzeba obliczyć średnią arytmetyczną sum cząstkowych szeregu, którymi są:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

a średnie arytmetyczne z tych sum wynoszą:

1, 0, Szablon:Uł, 0, Szablon:Uł, 0, Szablon:Uł, ...

Uzyskany ciąg średnich nie jest zbieżny, więc 1 - 2 + 3 - 4 + ... nie jest sumowalny w sensie Cesàro.

Istnieją dwa znane uogólnienia dla sumowania metodą Cesàro: koncepcyjnie prostszą z nich jest ciąg metod (H, n) dla n będących liczbami naturalnymi. (H, 1) jest sumowaniem metodą Cesàro, a metody wyższych rzędów są jej powtórzeniem na średnich. Powyżej, parzyste średnie są zbieżne do Szablon:Uł, podczas gdy nieparzyste średnie są wszystkie równe 0, stąd średnie ze średnich są zbieżne do średniej z 0 i Szablon:Uł, czyli Szablon:Uł. Można więc przyjąć, że 1 - 2 + 3 - 4 + ... jest (H, 2) sumowalny do Szablon:Uł.

Oznaczenie „H” oznacza Otto Höldera, który pierwszy udowodnił w 1882 roku związek pomiędzy sumowalnością metodą Abela a sumowalnością (H, n). 1 - 2 + 3 - 4 + ... był pierwszym przykładem. Fakt, że Szablon:Uł jest sumą (H, 2) z 1 - 2 + 3 - 4 + ... gwarantuje, że jest to również suma w sensie Abela.

Innym powszechnym uogólnieniem jest rodzina sumowań Cesàro (C, n). Zostało udowodnione, że sumowanie (C, n) i (H, n) podają zawsze takie same wyniki, ale mają one różne tło historyczne. W 1887 roku Cesàro był bliski podania definicji sumowalności (C, n), lecz podał tylko kilka przykładów. W szczególności zsumował 1 - 2 + 3 - 4 + ... do Szablon:Uł sposobem, który można by opisać jako (C, n) lecz bez uzasadnienia w tamtym czasie. Formalnie zdefiniował sumowanie (C, n) w 1890 roku aby podać twierdzenie, że iloczyn Cauchy'ego szeregu (C, n) sumowalnego z szeregiem (C, m) sumowalnym jest (C, m + n + 1) sumowalny.

Bibliografia

• Richard Beals: Analysis: an introduction. Cambridge UP, 2004. ISBN 0-521-60047-2. (ang.).
• Giovanni Ferraro. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. „Archive for History of Exact Sciences”. 54 (2), s. 101–135, czerwiec 1999. DOI: 10.1007/s004070050036. 
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, 1949. (ang.).
• John Tucciarone. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. „Archive for History of Exact Sciences”. 10 (1–2), s. 1–40, styczeń 1973. DOI: 10.1007/BF00343405. 
• John E. Weidlich: Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses, czerwiec 1950. OCLC 38624384. (ang.).