Problem bazylejski

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Problem bazylejski – zagadnienie z teorii liczb sformułowane po raz pierwszy w 1644 roku przez włoskiego matematyka Piotra Mengolego, które zostało rozwiązane w 1735 roku przez Leonarda Eulera. Ponieważ problem ten przez blisko 100 lat opierał się podejmowanym przez ówczesnych czołowych matematyków próbom rozwiązania, podołanie temu zadaniu przez dwudziestoośmioletniego Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę. Euler w znacznym stopniu uogólnił pierwotne zagadnienie; jego pomysły zostały podjęte w 1859 przez Bernarda Riemanna w jego doniosłej pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, w której zdefiniował funkcję dzeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei, rodzinnego miasta Eulera i rodziny Bernoullich – znanych szwajcarskich matematyków, którzy bezskutecznie zmagali się z tym zadaniem.

Przedmiotem problemu bazylejskiego w jego pierwotnym brzmieniu było znalezienie dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych, tj. sumy szeregu:


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right).

Suma ta z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku wynosi 1,644934. Istotą bazylejskiego problemu było jednak znalezienie odpowiedzi na pytanie jaka jest dokładna suma tego szeregu i przeprowadzenie na to odpowiedniego dowodu. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 stwierdził, że suma ta wynosi π2/6. W ówczesnej argumentacji użył pewnych zabiegów nieuprawnionych wedle wiedzy z tamtego roku; w pełni poprawny w sensie rygorów matematycznych dowód przeprowadził w 1741.

Dowód Eulera[edytuj | edytuj kod]

Euler w swoim dowodzie rozszerzył obserwacje dotyczące skończonych wielomianów, uznając, że te same właściwości mają wielomiany nieskończone. Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy to, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.

Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:

 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.

Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.

Miejsca zerowe funkcji \frac{\sin x}{x} występują w x = n\cdot\pi, gdzie n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\,.

Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:


\begin{align}
\frac{\sin(x)}{x} & {} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
& {} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}

Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające x^2, zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji \frac{\sin(x)}{x} w szereg, współczynnik przy x2 jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Mnożąc stronami przez -\pi^2, otrzymujemy ostateczny wynik:


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

Q.E.D.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]