Całka niewłaściwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Improperintegral1.png
Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe π/2

Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Ustalenia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Całki na przedziale nieograniczonym[edytuj | edytuj kod]

Niech dla każdego A > a funkcja

f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}

jest całkowalna w przedziale [a, A]. Granicę

\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{A\to \infty} \int\limits_a^A f(x)dx

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f w granicach od a do ∞. Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od -∞ do a i od -∞ do ∞:

\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{A\to -\infty} \int\limits_A^a f(x)dx,
\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{A\to -\infty,\ B\to \infty} \int\limits_A^B f(x)dx.\ \ \ \ \ \ (*)

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

\int\limits_{-\infty}^c f(x)dx+\int\limits_c^\infty f(x)dx,\ \ \ \ \ \ (**)

gdzie c jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia (**)\, powoduje istnienie granicy z (*)\,, jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę (*)\, można zdefinować przez wyrażenie (**)\,.

Całki z funkcji nieograniczonej[edytuj | edytuj kod]

Niech

f\colon [a,b)\to \mathbb{R}

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale [a, b - η], gdzie 0 < η < b - a, oraz jest nieograniczona w każdym przedziale [b - η, b) na lewo od punktu b (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji f). Granicę

\int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x=\lim_{\eta\to 0}\int\limits_a^{b-\eta}f(x)\mbox{d}x

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b]. Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna - w przeciwnym przypadku - tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówimy się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt a jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty a, b są punktami osobliwymi, metoda definowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki \textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x){\rm d}x, tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)\mbox{d}x,\ \ \ a<c<b.

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki[edytuj | edytuj kod]

Niech f będzie funkcją określoną na pewnym przedziale (a, b) poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

I=\int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

\int\limits_a^b|f(x)|\mbox{d}x

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka I, ale nie istnieje całka z modułu, całkę I nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\mbox{d}x=\frac{\pi}{2}

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

\int\limits_0^\infty\frac{|\sin x|}{x}\mbox{d}x.

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych[edytuj | edytuj kod]

Badanie zbieżności szeregu[edytuj | edytuj kod]

Całka niewłaściwa \textstyle \int\limits_a^bf(x)\mbox{d}x istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) punktów przedziału [a, b], gdzie

a=x_0<x_1<\ldots<x_n<\ldots< b

oraz

\lim_{n\to \infty}x_n = b

szereg liczbowy

\sum_{n=1}^\infty\, \int\limits_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\mbox{d}x

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje

f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}

są nieujemne oraz istnieje taka liczba Aa, że dla każdego xA zachodzi nierówność f(x) ≤ g(x), oraz całka \textstyle \int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x jest zbieżna, to również całka \textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli istnieje granica

\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K,

to

  • gdy K < ∞, ze zbieżności całki \textstyle\int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x wynika zbieżność całki \textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
  • gdy K > 0, z rozbieżności całki \textstyle\int\limits_a^\infty g(x)\mbox{d}x wynika rozbieżność całki \textstyle\int\limits_a^\infty f(x)\mbox{d}x (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy 0 < K < ∞ obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że funkcje f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R} są takie, że

1) \int\limits_a^\infty f(x)dx jest zbieżna;
2) funkcja g(x) jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że funkcja f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R} jest całkowalna w każdym przedziale [a,A] oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna K\,, że dla każdego A
\Bigg|\int\limits_a^A f(x)dx\Bigg|\leqslant K;
2) funkcja g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R} jest zbieżna monotonicznie do 0\, przy x\to\infty.

Wówczas całka

\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całki z funkcji wymiernych[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie funkcje wymierne \tfrac{P(z)}{Q(z)}, których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania \Gamma znajdą się bieguny z_1, z_2, ..., z_n funkcji f\, i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

\oint\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{res}_{z_k}f(z),

gdzie \Gamma to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

\lim_{R\to+\infty}\int\limits_{-R}^{+R}f(z)\,dz

możemy rozpatrywać jako sumę całek od -R do +R wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu R przechodzącym przez punkty +R, Ri, -R i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}f(z)

przy założeniu, że wszystkie punkty z_1, z_2, \dots, z_N znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całki z funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Całki z funkcji postaci f(x)\sin ax bądź f(x)\cos ax liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin ax\,dx = \oint\limits_{\Gamma}e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z)

bądź

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos ax\,dx = \oint\limits_{\Gamma}e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx.

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{1}\right)\right)=1,

i taka jest wartość szukanej całki.


Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{x}\right)\bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{1}-2\sqrt{t}\right)=2,

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

W tych przykładach

\alpha — dowolna dodatnia liczba rzeczywista,
\Gamma(z)funkcja gamma Eulera,
\zeta(z)funkcja zeta Riemanna,
\eta(z)funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.
  2. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.