Całka niewłaściwa

Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe π/2

Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Ustalenia wstępne

Całki na przedziale nieskończonym

Załóżmy, że dla każdego $A>a$ funkcja $f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest całkowalna w przedziale $[a,A]$. Granicę

$\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{A\to \infty} \int\limits_a^A f(x)dx$

nazywamy całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\infty$. Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówimy, że jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę niewłaściwą w granicach od $-\infty$ do $a$ i od $-\infty$ do $\infty$:

$\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{A\to -\infty} \int\limits_A^a f(x)dx,$

$\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{A\to -\infty,\ B\to \infty} \int\limits_A^B f(x)dx.\ \ \ \ \ \ (*)$

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

$\int\limits_{-\infty}^c f(x)dx+\int\limits_c^\infty f(x)dx,\ \ \ \ \ \ (**)$

gdzie c jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia $(**)\,$ powoduje istnienie granicy z $(*)\,$, jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę $(*)\,$ można zdefinować przez wyrażenie $(**)\,$.

Całki z funkcji nieograniczonej

Załóżmy, że funkcja $f\colon [a,b)\to \mathbb{R}$ jest nieograniczona oraz jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a,b-\eta],$ gdzie $0<\eta<b-a,$ lecz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b-\eta, b)$ na lewo od punktu $b$, który nazywamy punktem osobliwym funkcji $f$. Granicę

$\int\limits_a^bf(x)dx=\lim_{\eta\to 0}\int\limits_a^{b-\eta}f(x)dx$

nazywamy całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$. Gdy granica ta jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna, w przeciwnym przypadku, tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówimy że jest rozbieżna. Analogicznie określamy przypadek, gdy punkt $a$ jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty a, b są punktami osobliwymi, metoda definowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx,$ tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx,\ \ \ a<c<b.$

Łatwo też zrozumieć, jak analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

Niech funkcja $f\,$ określona jest na pewnym przedziale $(a,b)$ poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

$I=\int\limits_a^bf(x)dx$

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

$\int\limits_a^b|f(x)|dx$

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka $I$, ale nie istnieje całka z modułu, całkę $I$ nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

$\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

$\int\limits_0^\infty\frac{|\sin x|}{x}dx$.

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Badanie zbieżności szeregu

Całka niewłaściwa

$\int\limits_a^bf(x)dx$

istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, gdzie $a=x_0<x_1<\ldots<x_n<\ldots< b$ oraz $x_n\to b$, jest zbieżny szereg

$\sum_{n=1}^\infty\, \int\limits_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)dx$.

Kryterium porównawcze

Jeżeli funkcje $f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ są nieujemne oraz istnieje taka liczba $A\geqslant a$, że dla każdego $x\geqslant A$ zachodzi nierówność $f(x)\leqslant g(x)$, to całka $\int\limits_a^\infty f(x)dx$ jest zbieżna wtedy, gdy zbieżna jest całka $\int\limits_a^\infty g(x)dx$.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Jeżeli istnieje granica $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K$, to dla $K<\infty$ ze zbieżności całki $\int\limits_a^\infty g(x)dx$ wynika zbieżność całki $\int\limits_a^\infty f(x)dx$ (a to jest równoważne twierdzeniu, że z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej), a dla $K>0$ z rozbieżności pierwszej całki wynika rozbieżność drugiej (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej). Tak więc, dla $0<K<\infty$ obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela

Załóżmy, że funkcje $f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ są takie, że

1) $\int\limits_a^\infty f(x)dx$ jest zbieżna;

2) funkcja $g(x)$ jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

$\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta

Załóżmy, że funkcja $f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest całkowalna w każdym przedziale $[a,A]$ oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna $K\,$, że dla każdego $A$

$\Bigg|\int\limits_a^A f(x)dx\Bigg|\leqslant K$;

2) funkcja $g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest zbieżna monotonicznie do $0\,$ przy $x\to\infty$.

Wówczas całka

$\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całki z funkcji wymiernych

Wszystkie funkcje wymierne $\tfrac{P(z)}{Q(z)}$, których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania $\Gamma$ znajdą się bieguny $z_1, z_2, ..., z_n$ funkcji $f\,$ i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

$\oint\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{res}_{z_k}f(z),$

gdzie $\Gamma$ to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

$\lim_{R\to+\infty}\int\limits_{-R}^{+R}f(z)\,dz$

możemy rozpatrywać jako sumę całek od $-R$ do $+R$ wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu $R$ przechodzącym przez punkty $+R,$ $Ri,$ $-R$ i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}f(z)$

przy założeniu, że wszystkie punkty $z_1, z_2, \dots, z_N$ znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całki z funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi

Całki z funkcji postaci $f(x)\sin ax$ bądź $f(x)\cos ax$ liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin ax\,dx = \oint\limits_{\Gamma}e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z)$

bądź

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos ax\,dx = \oint\limits_{\Gamma}e^{azi}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{N}\mathrm{res}_{z_k}e^{azi}f(z).$

Przykłady

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

$\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx.$

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

$\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{1}\right)\right)=1,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

$\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.$

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

$\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{x}\right)\bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{1}-2\sqrt{t}\right)=2,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w niektórych wiadomych rozkładach

• $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}~e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx = \sqrt{2\pi}\sigma$ – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
• $\int\limits_0^{+\infty}~x^\alpha e^{-x} dx = \Gamma(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
• $\int\limits_0^{+\infty}~\frac{x^\alpha dx}{e^x - 1} = \Gamma(\alpha + 1) \zeta(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
• $\int\limits_0^{+\infty}~\frac{x^\alpha dx}{e^x + 1} = \Gamma(\alpha + 1) \eta(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

$\alpha$ — dowolna liczba rzeczywista większa od $0$,

$\Gamma(z)$ — funkcja gamma Eulera,

$\zeta(z)$ — funkcja zeta Riemanna,

$\eta(z)$ — funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia

1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.
2. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.