Prawo kontrapozycji

Zawieranie się jednego zbioru w drugim oznacza, że dopełnienie drugiego zawiera się w dopełnieniu pierwszego: $B\subset A\iff A'\subset B'.$

Prawo kontrapozycji, prawo transpozycji – prawo rachunku zdań (tautologia) mówiące o równoważności dwóch rodzajów implikacji:

$(p\Rightarrow q)\iff (\neg q\Rightarrow \neg p).$

Są one nazywane odpowiednio implikacją prostą oraz przeciwstawną. Czasem prawo transpozycji definiuje się nieco inaczej, nazywając tak każdą z czterech blisko związanych implikacji. Oprócz dwóch tworzących powyższą równoważność wyróżnia się też dwie inne:

$(p\Rightarrow \neg q)\Rightarrow (q\Rightarrow \neg p),$

$(\neg p\Rightarrow q)\Rightarrow (\neg q\Rightarrow p).$

Kontrapozycja to podstawa reguły wnioskowania modus tollens, na przykład dowodów nie wprost. Jest przedstawiana na kwadracie logicznym przez przekątne. Była znana już w IV wieku p.n.e. – pojawia się w pismach Arystotelesa. Łacińska nazwa, na której opiera się ta polska, powstała najpóźniej w VI wieku – używa jej Boecjusz.

Dowody

• Implikację $(p\Rightarrow q)$ można poddać kolejno przekształceniom:

$\neg p\lor q$	(eliminacja implikacji),
$\neg p\lor \neg \neg q$	(podwójne zaprzeczenie),
$\neg \neg q\lor \neg p$	(przemienność alternatywy),
$\neg q\Rightarrow \neg p$	(eliminacja implikacji). ∎

• Reguły tej można też dowodzić tak jak innych tautologii klasycznego rachunku zdań, odwołując się do matryc logicznych – niezależnie od wartości obu zmiennych wynikiem działania jest prawda.

• Istnieją również dowody aksjomatyczne.

Przykłady użycia

Liczby niewymierne takie jak pi (π) tworzą ułamki dziesiętne nieokresowe. Wynika to z faktu, że każdy okresowy ułamek dziesiętny oznacza liczbę wymierną.

Ruch Księżyca wokół Ziemi nie jest prostoliniowy. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że musi za tym stać jakaś siła; jest nią grawitacja.

Matematyka

• Jeśli jakaś liczba rzeczywista jest opisywana ułamkiem dziesiętnym okresowym, to jest wymierna. Oznacza to, że liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe.
• Brak właściwych dzielników zera w jakimś zbiorze, np. wśród liczb rzeczywistych, można wyrażać dwojako:

  $ab=0\Rightarrow (a=0\vee b=0),$

  $(a\neq 0\land b\neq 0)\Rightarrow ab\neq 0.$

• Istnieją dwie równoważne definicje funkcji różnowartościowej (iniekcji);
• istnieją dwie równoważne definicje liniowej niezależności układu wektorów;
• warunek konieczny sumowalności szeregu to zbieżność jego elementów do zera. Oznacza to, że jeśli jakiś ciąg nie zbiega do zera, to odpowiedni szereg jest rozbieżny. Przykładem jest szereg Grandiego;
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej można wyrazić przez kontrapozycję: jeśli w jakimś punkcie dziedziny funkcji istnieje niezerowa pochodna, to funkcja nie ma tam ekstremum.

Fizyka

• Pierwszą zasadę dynamiki można formułować dwojako; tej najczęstszej postaci równoważna jest inna: jeśli ciało nie porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym ani nie spoczywa, to działa na nie wypadkowa siła:

  ${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\neq {\vec {0}}\Rightarrow {\vec {F}}_{w}\neq {\vec {0}};$

Filozofia

• Paradoks czarnego kruka (paradoks Hempla) mówi, że implikacje można weryfikować przez weryfikację ich kontrapozycji, co przeczy intuicyjnemu rozumieniu weryfikacji i podważa wartość tego typu procedur.
• Kontrapozycja bywa używana w ontologicznych argumentach za wiarą w Boga.

Inne znaczenie terminu

Czasem powyższa reguła jest znana jako transpozycja zwykła lub prosta; wtedy wyróżnia się też prawa transpozycji złożonej:

$((p\land q)\Rightarrow r)\iff ((p\land \neg r)\Rightarrow \neg q).$

Bibliografia

• Józef W. Bremer: Wprowadzenie do logiki. Kraków: Wydawnictwo WAM, 2006, seria: Myśl filozoficzna. ISBN 83-7318-637-9.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Paul Halmos: Naive Set Theory. van Nostrand Company, 1960. ISBN 978-044203064-3. (ang.).
• Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej. Warszawa: PWN, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
• Wojciech Patryas: Elementy logiki dla prawników. Poznań: Ars boni et aequi, 1994. ISBN 83-900964-7-1.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: PWN, 2004, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-14294-4.
• Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1984. ISBN 83-0105028-4.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14428-9.
• Kazimierz Trzęsicki: Logika. Nauka i sztuka. Białystok: Temida 2, 1996. ISBN 83-86137-35-5.
• MaxM. Urchs MaxM., MarekM. Nasieniewski MarekM., SkarbimirS. Kwiatkowski SkarbimirS., Klasyczny rachunek zdań – wykład i zadania. Skrypt dla studentów pierwszego roku, Toruń: Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, repozytorium.umk.pl, 1997, ISBN 83-231-0858-7 [dostęp 2023-05-27] .

Linki zewnętrzne

• Logika – prawo kontrapozycji. Cykl „Matma – zobacz jakie to proste”, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-27].
  • Nagranie na YouTube, kanał Ministerstwa Edukacji i Nauki, 9 grudnia 2020.