Klasa sprzężoności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Klasa sprzężoności – w teorii grup podzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: relacja równoważności.

Niech G będzie grupą. Elementy a, b \in Gsprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element g \in G taki, że a = gbg^{-1}.

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli G na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez a, b są równe, jeżeli a, b są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element a \in G to zbiór

\{gag^{-1}\colon g \in G\}

nazywany klasą abstrakcji elementu a.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Grupa symetryczna S_3, składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

  • brak zmian (abc → abc)
  • zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
  • cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab)

Grupa symetryczna S_4, składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista wg rzędu):

  • brak zmian (1)
  • zamiana dwóch elementów miejscami (6)
  • cykliczna permutacja trzech elementów (8)
  • cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6)
  • zamiana miejscami dwóch par elementów (3)

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej S_n jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej n. Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów \{1, 2, \dots, n\} na cykle z dokładnością do permutacji elementów \{1, 2, \dots, n\}.

Działanie grupy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: działanie grupy.

Dla danej grupy G klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

g \cdot x = gxg^{-1}.

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy G na zbiorze wszystkich podzbiorów G:

g \cdot S = gSg^{-1}

lub na zbiorze wszystkich podgrup G. Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli skończona grupa G działa na sobie przez sprzężenia, a \{x_1, \dots, x_n\} jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

|G| = \sum_{i=1}^n~[G \colon Z(x_i)].
Stwierdzenie
Jeżeli element x \in G jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego g \in G zachodzi
gxg^{-1} = x \iff gx = xg.
Innymi słowy klasa x^G jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element x jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do Z(G). Niech x_1, \dots, x_{k-1} będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę G można przedstawić w postaci
G = Z(G) \cup x_k^G \cup \dots \cup x_n^G,
gdzie |x_i^G| > 1 dla i = k, \dots, n. Równanie klas przybiera wówczas postać
|G| = |Z(G)| + \sum_{i=k}^n~[G \colon Z(x_i)].
Twierdzenie 
Jeśli grupa G jest rzędu p^m, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, |Z(G)| \geqslant p.
Korzystając z powyższego stwierdzenia jest
p^m = |G| = |Z(G)| + \sum_{i=k}^n~[G \colon Z(x_i)],
gdzie |x_i^G|>1 dla i = k, \dots, n. Na mocy twierdzenia Lagrange'a, każdy indeks [G \colon Z(x_i)] jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby p, a więc i p dzieli |Z(G)|.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]