Klasa sprzężoności

Klasa sprzężoności – w teorii grup podzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja

Niech $G$ będzie grupą. Elementy $a, b \in G$ są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element $g \in G$ taki, że $a = gbg^{-1}$.

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli $G$ na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez $a, b$ są równe, jeżeli $a, b$ są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element $a \in G$ to zbiór

$\{gag^{-1}\colon g \in G\}$

nazywany klasą abstrakcji elementu $a$.

Przykłady

Grupa symetryczna $S_3$, składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

• brak zmian (abc → abc)
• zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
• cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab)

Grupa symetryczna $S_4$, składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista wg rzędu):

• brak zmian (1)
• zamiana dwóch elementów miejscami (6)
• cykliczna permutacja trzech elementów (8)
• cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6)
• zamiana miejscami dwóch par elementów (3)

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej $S_n$ jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej $n$. Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów $\{1, 2, \dots, n\}$ na cykle z dokładnością do permutacji elementów $\{1, 2, \dots, n\}$.

Działanie grupy

Dla danej grupy $G$ klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

$g \cdot x = gxg^{-1}$.

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy $G$ na zbiorze wszystkich podzbiorów $G$:

$g \cdot S = gSg^{-1}$

lub na zbiorze wszystkich podgrup $G$. Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności

Jeżeli skończona grupa $G$ działa na sobie przez sprzężenia, a $\{x_1, \dots, x_n\}$ jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

$|G| = \sum_{i=1}^n~[G \colon Z(x_i)]$.

Stwierdzenie

Jeżeli element $x \in G$ jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego $g \in G$ zachodzi

$gxg^{-1} = x \iff gx = xg$.

Innymi słowy klasa $x^G$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element $x$ jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do $Z(G)$. Niech $x_1, \dots, x_{k-1}$ będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę $G$ można przedstawić w postaci

$G = Z(G) \cup x_k^G \cup \dots \cup x_n^G$,

gdzie $|x_i^G| > 1$ dla $i = k, \dots, n$. Równanie klas przybiera wówczas postać

$|G| = |Z(G)| + \sum_{i=k}^n~[G \colon Z(x_i)]$.

Twierdzenie 

Jeśli grupa $G$ jest rzędu $p^m$, gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, $|Z(G)| \geqslant p$.

Korzystając z powyższego stwierdzenia jest

$p^m = |G| = |Z(G)| + \sum_{i=k}^n~[G \colon Z(x_i)]$,

gdzie $|x_i^G|>1$ dla $i = k, \dots, n$. Na mocy twierdzenia Lagrange'a, każdy indeks $[G \colon Z(x_i)]$ jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby $p$, a więc i $p$ dzieli $|Z(G)|$.

Interpretacja geometryczna

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też

• sprzężenie
• automorfizm