Mediana

Definicja intuicyjna:
W danym szeregu uporządkowanym liczba, która jest w połowie szeregu w wypadku nieparzystej liczby elementów. Dla parzystej liczby elementów – średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb.

Mediana (zwana też wartością środkową, wartością przeciętną lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwantylem rzędu 1/2, czyli drugim kwartylem. Jest również trzecim kwartylem szóstego rzędu, piątym decylem itd.

Mediana spełnia następujący warunek: jeśli szukamy liczby takiej, że średnia modułów odchyleń wartości dla wszystkich obserwacji od niej byłaby najmniejsza to liczbą tą jest właśnie mediana. Dzięki temu mediana ma interpretację jako optymalne przewidywanie wartości za pomocą jednej liczby, jeśli przyjętą funkcją błędu przewidywania jest moduł odchylenia (różnicy).

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Następnie, jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer $\tfrac{n+1}{2}$). Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer $\tfrac{n}{2}$ i obserwacją numer $\tfrac{n}{2}+1$.

Niekiedy używane są też inne wersje mediany:

• Wersja, w której dla parzystego n zamiast średniej arytmetycznej losuje się jedną z wartości dla dwóch obserwacji: numer n/2 lub n/2+1. Taka mediana nie wyprowadza wyniku poza zbiór dotychczasowych wartości. Znajduje zastosowanie szczególnie przy obróbce dwubarwnych map bitowych. Klasyczna mediana wymagałaby wówczas wprowadzenia obok istniejących kolorów białego i czarnego także koloru szarego.
• Mediana ważona w której każda obserwacja a_i ma przypisaną wagę w_i. Jeśli w_i są liczbami naturalnymi, jej obliczenie sprowadza się do obliczenia klasycznej mediany, w której obserwacja a_i jest wzięta pod uwagę w_i razy.
• Przyjąć można również, iż jeśli n jest parzyste to medianą może być równie dobrze każda liczba z przedziału od wartości dla obserwacji numer n/2 do wartości obserwacji n/2+1. Każda z tych liczb spełnia bowiem warunek minimalizacji średniej z modułów odchyleń.

Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia arytmetyczna. Używana jest także w grafice komputerowej i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów.

Mediana z próby jest zgodnym i asymptotycznie nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej w populacji dla dowolnego rozkładu.

Odporność na elementy odstające jest na ogół zaletą, jednak czasem może być uważana za wadę — nawet olbrzymie zmiany skrajnych obserwacji nie wpływają na jej wartość. Stąd pojawiły się propozycje pośrednie pomiędzy nimi, takie jak średnia ucinana, stosowana na przykład w konkursach tańca na lodzie.

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 14. ISBN 83-01-14292-8.