Model Drudego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
W modelu Drudego poruszające się elektrony (niebieskie) zderzają się z jonami sieci krystalicznej (czerwone)

Model Drudego (również model elektronów swobodnych, model gazu elektronów swobodnych) – model przewodnictwa elektrycznego ciał stałych (głównie metali) zaproponowany przez Paula Drudego w 1900 r.[1][2].

Model stosuje do elektronów klasyczną kinetyczną teorię gazów zakładając, że bezładny ruch elektronów swobodnych w metalu odbywa się podobnie jak ruch cząsteczek w gazie, i że są one rozpraszane na skutek zderzeń z nieruchomymi jonami sieci krystalicznej.

Półklasyczny model Drudego-Sommerfelda stosuje klasyczne równania ruchu, ale rozkład prędkości elektronów opisuje za pomocą kwantowego rozkładu Fermiego-Diraca.

Niekiedy modelem elektronów swobodnych bywa krótko nazywany model elektronów prawie swobodnych.

Model[edytuj | edytuj kod]

Elektrony poruszają się w polu elektrycznym \vec{E}. Jednocześnie wykonują chaotyczne ruchy termiczne zderzając się z jonami sieci krystalicznej[3], a ich prędkość ruchu termicznego jest tak duża, że pomiędzy zderzeniami zachodzącymi średnio co czas \tau uzyskują jedynie niewielki pęd d\vec{p}. Średni przyrost pędu elektronu na skutek działania pola elektrycznego wyniesie wtedy:

d\langle\vec{p}\rangle = q \vec{E} \tau

Model zakłada, że wszystkie kierunki rozproszenia elektronu w wyniku zderzenia z jonami sieci są jednakowo prawdopodobne, zatem można zaniedbać średni pęd elektronu bezpośrednio po zderzeniu, co prowadzi do wyrażenia na średni pęd uzyskany przez elektron[4]:

\langle\vec{p}\rangle = q \vec{E} \tau

Ponieważ średni pęd jest równy

\langle\vec{p}\rangle = m \langle\vec{v}\rangle

(średnia prędkość \langle\vec{v}\rangle jest też nazywana prędkością unoszenia), gęstość prądu elektrycznego można zapisać jako:

\vec{J} = n q \langle\vec{v}\rangle,

gdzie n jest koncentracją elektronów,

wówczas:

\vec{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \vec{E}

Równanie to wyjaśnia ilościowo liniową zależność pomiędzy gęstością prądu i polem elektrycznym (prawo Ohma) – co było sukcesem modelu Drudego. Wielkość

\mu = \frac{q \tau}{m}

nazywa się ruchliwością elektronów, a ostatnie równanie na gęstość prądu można zapisać jako:

\vec{J} = q n \mu \vec{E}

Rozszerzenia modelu[edytuj | edytuj kod]

W 1905 roku Hendrik Lorentz opracował dokładniejszy model, w którym zrezygnował z uproszczenia zakładającego stałą prędkość termiczną elektronów i przyjął, że jej rozkład jest opisany przez Rozkład Maxwella-Boltzmanna. Rezultaty tego modelu nie różniły się znacząco od podstawowego modelu Drudego.

Rozwój fizyki kwantowej i odkrycie zasady Pauliego skłoniły Arnolda Sommerfelda do zastosowania rozkładu Fermiego-Diraca zamiast rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Jego model nosi nazwę modelu Drudego-Sommerfelda i jest często określany jako półklasyczny. W procesach transportu biorą udział elektrony znajdujące się w pobliżu poziomu Fermiego. Takie podejście jest możliwe jedynie wtedy, gdy żądana dokładność określenia położenia i pędu nie narusza zasady nieoznaczoności.

Rezultaty i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Prosty klasyczny model Drudego wyjaśnia przewodnictwo metali (choć nie daje informacji o zależności przewodnictwa od temperatury), klasyczny efekt Halla, elektronowe przewodnictwo cieplne i prawo Wiedemanna-Franza[5]. Niestety, zawodzi w innych przypadkach – na przykład przy obliczeniach wielkości elektronowej składowej ciepła właściwego, w wielu wypadkach daje też wielkości parametrów liczbowych mocno niezgodne z doświadczeniem.

Model Drudego-Sommerfelda prawidłowo określił elektronową składową ciepła właściwego, ale nie rozwiązał wielu innych problemów. Podstawową wadą modelu jest zaniedbanie wpływu jonów sieci na ruch elektronów między zderzeniami. Został on uwzględniony w modelu elektronów prawie swobodnych zbudowanym w oparciu o formalizmy mechaniki kwantowej.

Model może być zastosowany również do opisu dziur, choć nie przewiduje ich istnienia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Fizyka ciała stałego. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-05360-7.

Przypisy

  1. Paul Drude. "Zur Elektronentheorie der metalle". „Annalen der Physik”. 306 (3), s. 566, 1900. doi:10.1002/andp.19003060312. 
  2. Paul Drude. "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte". „Annalen der Physik”. 308 (11), s. 369, 1900. doi:10.1002/andp.19003081102. 
  3. W rzeczywistości droga swobodna elektronów jest o wiele rzędów wielkości większa niż odległość między atomami, a mechanizm ich rozpraszania jest inny niż uważał Drude – zderzenia z defektami sieci i drganiami termicznymi (fononami). Dla wyników modelu mechanizm rozpraszania elektronów nie ma jednak większego znaczenia (N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka..., str. 26, 31).
  4. W pierwszych pracach Drude stosując proste rozważania mechaniczne doszedł do poniższego równania z czynnikiem 1/2, dopiero późniejsze rozważania statystyczne dały właściwy wynik.
  5. Sukces ten, choć niegdyś spektakularny, jest przypadkowy. Rzeczywista prędkość elektronu jest około sto razy większa od oszacowania klasycznego, a wkład elektronów do ciepła właściwego około sto razy mniejszy. Przy wyprowadzaniu prawa Wiedemanna-Franza z modelu Drudego te dwa błędy się wzajemnie znoszą (N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka..., str. 46).