Energia potencjalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Elektrownie wodne wykorzystują energię potencjalną grawitacji spiętrzonej wody, zamieniając ją za pośrednictwem prądnic w energię elektryczną.
Gdy łucznik napina łuk, to wykonuje pracę; energia biochemiczna łucznika zamienia się w energię potencjalną sprężystości w zgiętej części łuku. Gdy cięciwa zostaje puszczona, to cięciwa działająca siłą na strzałę wykonuje na niej pracę. W ten sposób energia potencjalna łuku jest przemieniana w energię kinetyczną strzały.
Pole grawitacyjne Ziemi dla dużych odległości jest polem centralnym.

Energia potencjalnaenergia, jaką ma ciało lub układ ciał w zależności od położenia ciała (układu ciał) w przestrzeni. Pojęcie energii potencjalnej można wprowadzić jedynie wtedy, gdy ciało (układ ciał) oddziałuje z niezależnym od czasu polem sił potencjalnych[1].

Energia potencjalna występuje w różnego typu oddziaływaniach, np. grawitacyjnych, elektrycznych, sprężystych. Zgromadzoną w ciałach energię potencjalną wykorzystuje się w rozmaity sposób. Np. od czasów prehistorycznych wykorzystuje się energię potencjalną sprężystości zgromadzoną w napiętym łuku – dzięki tej energii możliwe jest wyrzucenie strzały na duże odległości. Współczesne elektrownie wodne zamieniają energię potencjalną spiętrzonej wody w energię elektryczną – przy minimalnym obciążeniu środowiska naturalnego. Zaś dokładne obliczenia energii potencjalnej pozwalają planować ilość paliwa potrzebnego np. do umieszczenia satelity na orbicie, czy planowaniu podróży na Marsa.

Definicja energii potencjalnej[edytuj | edytuj kod]

W przypadku pojedynczego ciała energia potencjalna E_p(\vec r) jest równa pracy, jaką trzeba by wykonać, przemieszczając ciało z ustalonego położenia \vec r_0 do położenia \vec r. Ponieważ w ogólności siła zależy od położenia ciała w przestrzeni, to pracę tą trzeba wyrazić jako całkę po krzywej, po której dokonuje się przemieszczenia ciała[2]

E_p(r)=\int_{r_0}^r \vec F_{z}(r) d\vec r

gdzie \vec F_z(r) jest siłą zewnętrzną równoważącą siłę pola w położeniu \vec r.

Z powyższej całki wynika, że wartość energii potencjalnej w ustalonym położeniu \vec r_0została ustalona jako wartość zerowa.

W przypadku układu n ciał energia potencjalna E_p(\vec r_1,\vec r_2,\ldots,\vec r_n) jest równa pracy, jaką trzeba wykonać, przemieszczając ciała z ustalonych położeń \vec r_{1,0},\vec r_{2,0},\ldots,\vec r_{n,0} do położeń \vec r_1,\vec r_2,\ldots,\vec r_n[3]; energia potencjalna w ustalonej konfiguracji \vec r_{1,0},\vec r_{2,0},\ldots,\vec r_{n,0} ma wartość zerową[4].

Jeżeli układ ciał posiada stan równowagi trwałej w pewnej konfiguracji, to dla tej konfiguracji energia potencjalna układu ma minimum. Często ustala się zerową wartość energii potencjalna w tej konfiguracji.

Energia potencjalna grawitacji[edytuj | edytuj kod]

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.

W jednorodnym polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi w rozpatrywanym obszarze jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wtedy wszystkie punkty na poziomie odniesienia mają zerową energię potencjalną.

Energia potencjalna ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziomem odniesienia jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na tę wysokość

E_p(h) = \int_0^h F_z(x) dx = F_z h = mgh\,

gdyż siła F_z(x)=mg jest stała, równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego.

W centralnym polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

W zagadnieniach, w których siła grawitacji nie jest stała podczas ruchu (np. w trakcie lotów kosmicznych na duże odległości, w oddziaływaniach między planetami, które znacznie zmieniają wzajemne odległości podczas ruchu wokół Słońca), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego.

Energia potencjalna na zewnątrz jednorodnej kuli[edytuj | edytuj kod]

Siła zewnętrzna potrzebna do przemieszczenia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o znacznie większej masie M (będącej źródłem pola grawitacyjnego) ma postać

\vec F_z(r)=\frac{GmM}{r^2}\frac{\vec r}{r}

gdzie:

r – odległość między środkiem ciała o masie M a ciałem o masie m
Gstała grawitacyjna [N·m²·kg–2],
M – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],
m – masa przenoszonego ciała [kg].

Za poziom odniesienia najwygodniej jest przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Zgodnie z definicją energia potencjalna ciała w położeniu \vec r określanego względem środka masy M jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z punktu odniesienia (w nieskończoności) do położenia \vec r:

E_p(\vec r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}\vec F_z(\vec r) d\vec r\!\!

Ponieważ wektor przemieszczenia \vec dr=-dr\frac{\vec r}{r} , gdzie dr - przyrost wektora \vec r , to mamy:

\vec F_z(\vec r)\vec dr=\frac{GmM}{r^2}\frac{\vec r}{r}dr\frac{\vec r}{r}
=\frac{GmM}{r^2}dr

Stąd:

E_p(r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}{\frac{GMm}{r^{2}}}dr\!\!
=-GmM\!\bigg|_{\infty}^r\!\!
=-GmM\!\!\left( \frac{1}{r} -\frac{1}{\infty}\right)
=\!\!-GmM\!\!\left( \frac{1}{r}-0 \right)\quad \quad

czyli

E_p(r)=-\frac{GmM}{r}

Powyższy wzór jest słuszny dla r>0 przy założeniu, że źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Jeżeli zaś źródłem pola grawitacyjnego jest kula o promieniu R, to powyżej przeprowadzone całkowanie jest słuszne na zewnątrz kuli, tj. dla r\ge R . Obliczenie energii potencjalnej dla r < R wymaga osobnych obliczeń (patrz poniżej).

Energia potencjalna wewnątrz jednorodnej kuli[edytuj | edytuj kod]

Aby obliczyć potencjał wewnątrz kuli skorzystamy z faktu, że siła grawitacyjna działająca na ciało tam umieszczone (np. w wydrążonym tunelu) pochodzi od masy M(r) tej części kuli, która ma promień r, czyli

M(r)=M\frac{r^3}{R^3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,r< R
M(r)=M,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r\ge R

Stąd:

E_p(r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}{\frac{GM(r)m}{r^{2}}}dr\!\!
=
\!\!\!\int\limits_{\infty }^{R}{\frac{GMm}{r^{2}}}dr\!\!
+
\!\!\!\int\limits_{R }^{r}{\frac{GM(r)m}{r^{2}}}dr\!\!

=
-\frac{GmM}{r}
+
{\frac{GmM}{R^3}}\!\!\!\int\limits_{R }^{r} r dr

Wykonując do końca całkowanie otrzymuje się energię potencjalną wewnątrz kuli o masie M i promieniu R

E_{p}(r)=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R}
+\frac 1 2 \frac{GmM}{R^3}r^2

W środku kuli energia ta ma minimum E_{p}(0)=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R} i rośnie proporcjonalnie do r^2, osiągając wartość E_{p}(R)=- \frac{GmM}{R} na powierzchni kuli.

Energia potencjalna sprężystości[edytuj | edytuj kod]

Energia potencjalna sprężystości jest energią układu poddanego działaniu siły sprężystości. Układem tym może być układ makroskopowy, np. ciało zawieszone na sprężynie albo układ mikroskopowy, np. drgająca cząsteczka, wykonująca niewielkie drgania od położenia równowagi, tak że siła powodująca ruch jest siłą sprężystą.

Jeżeli przemieszczenie układu odbywa się w kierunku os X układu współrzędnych, wtedy współrzędna F wektora siły sprężystej wyraża się wzorem

F(x)=- k x\,

gdzie:

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła jest zawsze skierowana przeciwnie do przemieszczenia.

Zgodnie z definicją energia potencjalna sprężystości jest równa pracy, jaką wykonuje siła zewnętrzna przeciwko sile sprężystości przy odkształcaniu układu od ustalonego stanu. Siła zewnętrzna jest skierowana przeciwnie do siły sprężystości i ma równą jej wartość, czyli F_Z(x)= k x. Przyjmując, że ustalonym stanem układu jest jego stan równowagi (wtedy x = 0), energię potencjalną wyraża wzór

E_p(x)=W_{0\to x}=\int\limits_0^x k\,x\, dx = \frac{1}{2}\, k\, x^2

Energia potencjalna sprężystości jest więc proporcjonalna do kwadratu odkształcenia x układu od położenia równowagi. Układ wytrącony od położenia równowagi i pozostawiony działaniu sił sprężystych będzie wykonywał drgania oscylacyjne: zmieniające się w czasie odkształcenie x(t) będzie oznaczać zmieniającą się w czasie jego energię potencjalną sprężystości.

Energia potencjalna a siła[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli znany jest rozkład przestrzenny energii potencjalnej E_p(\vec r) danego układu ciał, to można wyznaczyć siłę działającą na to ciało (układ ciał) obliczając gradient energii potencjalnej

\vec F(\vec r)=-\nabla E_p(\vec r)

Punkty równowagi układu[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dla pewnego położenia \vec r_m układu w przestrzeni (lub dla pewnej konfiguracji \vec r_m) energia potencjalna osiąga lokalne ekstremum, to gradient energii potencjalnej zeruje się

\nabla E_p(\vec r_m)=0

czyli znikają siły działające na ciało. Położenie \vec r_m jest więc położeniem równowagi układu. Jeśli jest to minimum energii potencjalnej – równowaga jest trwała, gdyż nawet niewielkie odejście od \vec r_m powoduje pojawienie się siły, sprowadzającej układ do stanu równowagi; gdy energia potencjalna ma maksimum w \vec r_m, to równowaga jest nietrwała. Gdy energia potencjalna ma kilka lokalnych ekstremów, to oznacza, że układ może być w równowadze w więcej niż w jednym punkcie.

Przykład: Jak omówiono wyżej (por. Energia potencjalna sprężystości) układ poddany działaniu siły sprężystej ma energię potencjalną

E_p(x) = \frac{1}{2}\, k\, x^2

Pochodna energii względem x wynosi

\frac {dE_p(x)}{ dx} =  k\, x

Pochodna zeruje się dla x = 0; w punkcie tym pochodna ma minimum absolutne. Wynika stąd, że układ drgający pod wpływem siły sprężystej ma dla x = 0 położenie równowagi trwałej. Rezultat ten jest zgodny z rzeczywistością - np. ciało na sprężynie wychylone od położenia równowagi zacznie wykonywać drgania; po pewnym czasie, zależnym od tłumienia, zatrzyma się w położeniu równowagi. Z przykładu tego widać, że warunek na minimum energii potencjalnej pozwala łatwo znaleźć punkty równowagi. Np. w przypadku oscylatora harmonicznego tłumionego bezpośrednie znalezienie punktu równowagi z równania ruchu układu wymagałoby rozwiązania złożonego równania różniczkowego (por. Ruch harmoniczny tłumiony).

Praca a energia potencjalna[edytuj | edytuj kod]

Pracę potrzebną do przemieszczenia ciała od punktu A do punktu B można obliczyć jako różnicę energii potencjalnych tego ciała w punktach B i A

W_{A\to B}=E_p(\vec r_B)-E_p(\vec r_A)

Jeżeli praca ta jest dodatnia, to ciała zyskuje energię potencjalną kosztem innej formy energii. W ten sposób można obliczyć np. energię potrzebną do przeniesienia satelity z powierzchni Ziemi do nieskończoności:

W_{R_Z\to \infty}=0-E_p(R_Z)=\frac{GmM}{R_Z}

gdzie R_Z - promień Ziemi.

Przybliżenie wzoru na pracę w polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

Wzór na energię pola grawitacyjnego w postaci E=mgh (por. wyżej) jest przybliżeniem wzoru ogólnego na pracę w polu grawitacyjnym. Mianowicie, energia potencjalna na wysokości h jest równa pracy, potrzebnej do podniesienia ciała z poziomu odniesienia na wysokość h. Jako poziom odniesienia przyjmiemy promień Ziemi R_Z :

W_{R_Z\to R_Z+h}=E_p(R_Z+h)-E_p(R_Z)=-\frac{GmM}{R_Z+h}-\bigg(\!\!-\frac{GmM}{R_Z}\bigg)

Po dodaniu ułamków otrzyma się:

W_{R_Z\to R_Z+h}=GMm\frac h {(R_Z+h)R_Z}\approx GMm\frac h {R_Z^2}

przy czym wykonane tu przybliżenie jest słuszne, gdy przesunięcie h ciała jest niewielkie wobec promienia Ziemi (ponieważR_Z\approx 640 000 km , więc np. nawet dla h=100 km popełniany błąd względny przybliżenia będzie wynosił tylko 1,6%). Z prawa grawitacji Newtona wynika, że przyspieszenie, jakiego doznaje ciało o masie m pod wpływem siły grawitacji wynosi

g=\frac F m=\frac {GM} {R_Z^2}

Uwzględniając to otrzyma się

W_{R_Z\to R_Z+h}=m g h

czyli wzór na energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 64.
  2. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993, s. 180-181.
  3. R. Resnick, D. Halliday: Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. Warszawa: PWN, 1974, s. 161-184.
  4. Energia potencjalna - WIEM, darmowa encyklopedia

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1, PWN, Warszawa 1980, ISBN 830100987X.
  3. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, Warszawa 1984.
  4. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN, Warszawa 1973.