Energia potencjalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Energia potencjalnaenergia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych[1], wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero[2]. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

Energia potencjalna a siła[edytuj | edytuj kod]

Znając rozkład przestrzenny energii potencjalnej pewnego ciała umieszczonego w polu sił można wyznaczyć siłę działającą na to ciało obliczając gradient

\vec F=-\nabla E_p

Jeżeli w pewnym punkcie przestrzeni energia osiąga lokalne ekstremum, wówczas, jak widać z powyższego wzoru, znikają siły działające na ciało. Punkt ten określa położenie równowagi. Jeśli jest to minimum – równowaga jest trwała, jeżeli maksimum – nietrwała.

Gdy znane są natomiast siły pola działające na ciało w każdym punkcie przestrzeni, można znaleźć różnicę energii potencjalnych ciała w punktach A i B obliczając całkę z siły

E_p(\vec r_B)-E_p(\vec r_A)=-\int\limits_{\vec r_A}^{\vec r_B} \vec F(\vec r ) \cdot \vec {dr}

Jeżeli w położeniu rA ustali się arbitralnie Ep = 0, wówczas wartość tej całki określa energię potencjalną w położeniu rB.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.

W pobliżu powierzchni Ziemi[edytuj | edytuj kod]

Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi, w rozpatrywanym obszarze, jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Wówczas za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wszystkie punkty na tej samej wysokości mają energię równą zero, powierzchnię tę nazywa się powierzchnią Ziemi. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h.

Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziom odniesienia (poziom ziemi) jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na wysokość h

E_p = W = F h = mgh\,

gdzie siła F jest równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego.

W centralnym polu grawitacyjnym[edytuj | edytuj kod]

W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii grawitacyjnej w skali porównywalnej do odległości od źródeł grawitacji (np. w lotach kosmicznych, oddziaływaniach międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego. Za poziom odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Wyrażenie na pracę potrzebną do przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od środka masy M do nieskończoności można wyznaczyć obliczając całkę

W=\int\limits_{r}^{\infty }{\frac{GMm}{r^{2}}}dr=-GmM\left( 0-\frac{1}{r} \right)=0-\left( -\frac{GmM}{r} \right)\quad \quad \quad \left( 1 \right)
W=\frac{GmM}{r}

gdzie:

r – odległość od środka masy źródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu [m],
Gstała grawitacyjna [N·m²·kg–2],
M – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],
m – masa przenoszonego ciała [kg].

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym, dlatego pracę przeniesienia ciała z punktu A do punktu B można wyrazić poprzez energię potencjalną w punkcie A i B

W=E_B-E_A\,

Porównując ten wzór ze wzorem (1) można zauważyć, że energia potencjalna w punkcie odległym o r od centrum masy M może być wyrażona wzorem

E_p=-\frac{GMm}{r}

Wzór ten jest prawdziwy dla sytuacji, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Pozostaje prawdziwy również dla kuli o symetrycznym rozkładzie masy, ale tylko na zewnątrz tej kuli.

W środku jednorodnej kuli o masie M i promieniu R energia potencjalna osiąga wartość

E_{p}=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R}

Przyjmując za poziom odniesienia powierzchnię kuli (Ep = 0) energia potencjalna w środku przyjmuje wartość

E_{p}=-\frac 1 2 \frac{GmM}{R}

Energia potencjalna sprężystości[edytuj | edytuj kod]

Energia potencjalna sprężystości jest energią określaną dla ciała odkształcanego sprężyście. Energia ta jest proporcjonalna do kwadratu odkształcenia od położenia równowagi. W przypadku odkształconej sprężyny energię tę opisuje wzór

E_p = \frac{1}{2} k x^2

gdzie:

k – współczynnik sprężystości [N/m],
x – odkształcenie, czyli odległość od położenia równowagi [m].

Wzór na energię potencjalną odkształconej sprężyny można wyprowadzić wykorzystując wzór na siłę sprężystości

F_s=- k x\,

gdzie Fssiła sprężystości [N].

Praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny o x jest to praca przeciwko sile sprężystości (o przeciwnym znaku). Można ją zatem zapisać:

W=\int\limits_0^x kxdx

Ponieważ praca ta jest różnicą energii końcowej i początkowej, a w położeniu równowagi energia potencjalna jest równa 0. Stąd wynika wzór na energię potencjalną.

Przypisy

  1. Fizyka 1. Robert Resnick, David Halliday. ISBN 83-01-09322-6. Strona 161-184
  2. Energia potencjalna - WIEM, darmowa encyklopedia

Zobacz[edytuj | edytuj kod]