Punkt eksponowany

Punkt eksponowany – punkt $x_{0}$ domkniętego podzbioru wypukłego $K$ przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f\in X^{*},$ który jest ograniczony z góry na $K,$ tj.

$\sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle <\infty ,$

oraz $x_{0}$ jest jedynym takim punktem w $K,$ że:

$\sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle =\mathrm {Re} \,\langle f,x_{0}\rangle ,$

tj. $x_{0}$ jest jedynym punktem $K$ w którym (część rzeczywista) $f$ osiąga swoje maksimum na $K.$ Innymi słowy, punkt $x_{0}$ jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca $H$ zbioru $K,$ że:

$H\cap K=\{x_{0}\}.$

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\exp K.$

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza.

Związek z punktami ekstremalnymi

Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnym. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech $K$ będzie sumą prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty $(-1,0),(1,0)$ są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

$K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K.$

Punkty mocno eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt $x_{0}\in X$ jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał $f\in X^{*},$ że dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów $K,$ jeżeli

$\mathrm {Re} \,\langle f,x_{n}\rangle \to \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle ,$

to $x_{n}\to x_{0}.$

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru $K$ oznaczany bywa symbolem $\operatorname {stexp} K.$

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór $K$ jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ_∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał $f$ można dobrać z przestrzeni ℓ₁. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych

Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $K$ będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem $X.$ Lindenstrauss, a także Troyanski, udowodnili, że

$K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\mathrm {stexp} \,K.$

Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów $f\in X^{*},$ które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu G_δ.

Bibliografia

• M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.