Równania telegrafistów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside'a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników[1]. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

Równania[edytuj | edytuj kod]

Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:

  • rozprowadzony opór R przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości)
  • rozprowadzona indukcyjność L jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości)
  • pojemność elektryczna C między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika C (farad na jednostkę długości)
  • przewodność czynna G dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)

Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

U=Ue^{j\omega t}~~~~~~I=Ie^{j\omega t}\,
A=R+j\omega L;~~~~~~ B=G+j\omega C;~~~~~~ \gamma^2=AB; \,
  • Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą γ, zwaną stałą propagacji.

{d^2U\over dz^2} -\gamma^2 U=0;~~~~~~{{d^2I\over dz^2} -\gamma^2 I=0;}

Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól E i H. Równania te zwane są równaniami falowymi.

Równania telegrafistów wyraża się za pomocą R, L, C i G by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.

Linia bezstratna[edytuj | edytuj kod]

Kiedy elementy R i G są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów L i C i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne U wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia x i czasu t:

\frac{\partial}{\partial x} U(x,t) =-L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =-C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t)

Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:

\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U =\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I =\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I

W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną E=E_{o}e^{-j\omega ( \frac{x}{c} - t)} \,) równania te redukują się do:

\frac{\partial^2U(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 LC\cdot U(x)=0
\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x)=0
gdzie \omega – częstość fali w stanie stacjonarnym

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością c = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Linia stratna[edytuj | edytuj kod]

Gdy elementy straty R i G nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:

\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) =-L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t)
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =-C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t) - G V(x,t)

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po x i drugiego po t oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:

\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V =L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V +(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V
\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I =L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I +(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I

Kierunek propagacji fali[edytuj | edytuj kod]

Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. R = 0 i G = 0), rozwiązanie można przedstawić równaniem:

V(x,t) \ = \   { f_1(\omega t - kx) + f_2(\omega t + kx)} \
gdzie:
 k = \omega \sqrt{LC} = {\omega \over v} \
kliczba falowa (jednostka: radian na metr)
ω – częstość kołowa (radian na sekundę)
f1 i f2 – dowolne funkcje
v = { \frac{1}{\sqrt{LC}} } \ prędkość fazowa fali

Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu

I(x,t) \ = \   { f_1(\omega t-kx) \over Z_0 }  -  { f_2(\omega t+kx) \over Z_0 }

gdzie Z0 jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:

Z_0 =  \sqrt { {L \over C}}

Przypisy