Równanie falowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:


\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\
u(x,0) = f(x),                                                    & f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x),                        & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
\end{cases}

gdzie \mathbb{R}_{+} oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja u(x,t) jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie x w chwili t. Zadane są początkowe położenie fali f oraz początkowy impuls g. Fizycznie stała c oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol \triangle_{x} to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:


\square u (x, t) = 0

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki n=1,2,3.

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a:


e^{i(Et-\vec{r} \circ \vec{p})/\hbar{}}

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Rozwiązania równania falowego[edytuj | edytuj kod]

Równanie struny i wzór d'Alemberta[edytuj | edytuj kod]

Jednowymiarowe (n=1) równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:


\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\
u(x,0) = f(x),                                                    & f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x),                        & g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}
\end{cases}

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:


u(x,t) = \alpha(x-ct)+\beta(x+ct),

gdzie \alpha, \beta są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności f\in C^2(\mathbb{R}), g\in C^1(\mathbb{R}) oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:


u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz}

Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej[edytuj | edytuj kod]

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

u(0,t) = 0 dla dowolnego t\in\mathbb{R}

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

\begin{cases}
u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz},& x \geqslant{}ct \\
u(x, t) = \frac{f(x+ct)-f(ct-x)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{ct-x}^{ct+x}{g(z)dz},& x < ct
\end{cases}

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe dla n=3 ma postać


\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\
u(x,0) = f(x),                                                    & f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x),                        & g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}
\end{cases}

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3) rozwiązaniem jest:


4\pi{}c^2{}\cdot{}u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\frac{1}{t}\int\limits_{S^2(x,ct)}{f(z)d\sigma(z)}\big) + \frac{1}{t} \int\limits_{S^2(x,ct)}{g(z)d\sigma(z)}

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe dla n=2 można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3) rozwiązaniem jest:


2\pi{}c \cdot u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\int\limits_{D(x,ct)}{\frac{f(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2{}t^2 - |z-x|^2}}}\big) + \int\limits_{D(x,ct)}{\frac{g(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2 t^2 - |z-x|^2}}}

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3[edytuj | edytuj kod]

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:


\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= h(x,t), & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\
u(x,0) = 0,                                                    &  \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = 0,                        & 
\end{cases}

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:


4\pi{}c^2 u(x,t) = \int\limits_{0}^{ct}{dr \int\limits_{S^2(x,r)}{h(z, t-\frac{r}{c})} d\sigma(z)}

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku |z-x| = ct.

Zasada Huygensa[edytuj | edytuj kod]

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie n=3 oraz n=2.

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki K\subseteq\mathbb{R}^n.

Niech n=3. Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że u(x,t)\ne{}0 tylko w pewnym skończonym czasie t\in{}[t_1, t_2]. Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla n=2. Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak \frac{1}{t}.

Referencje[edytuj | edytuj kod]