Krzywa stożkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Krzywa stożkowazbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane nam pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Rodzaje krzywych stożkowych[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

  • W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
    • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
    • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
    • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.
Krzywe stożkowe.svg

Równanie[edytuj | edytuj kod]

Elipsa (e=0,5), parabola (e=1) i hiperbola (e=2). Dla e=∞ uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

r={p \over {1+e \cos \varphi}}

r, \varphi – współrzędne punktu;
emimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:

p – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka.