Rozkład macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Diagonalizacja.

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy A w postaci diagonalnej czyli

A=P D P^{-1},\!

gdzie

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Postać Jordana.

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci Jordana czyli

A=P D P^{-1},\!

gdzie

Jeśli macierz A jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Rozkład wartości osobliwych.

Rozkład wartości osobliwych (nad \mathbb{R}) to przedstawienie macierzy A w postaci

A=U \Sigma V^T,\!

gdzie

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.


Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych \mathbb{C}, to

A=U \Sigma V^*,\!

gdzie

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Metoda LU.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci

A=LU,\!

gdzie

Rozkład Choleskiego[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Rozkład Choleskiego.

Rozkład Choleskiego (nad \mathbb{R}) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej A w postaci

A=LL^T,\!

gdzie

Rozkład Choleskiego (nad \mathbb{C}) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej A w postaci

A=LL^*,\!

gdzie


Rozkład biegunowy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Rozkład biegunowy operatora.

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy A w postaci

A=U R,\!

gdzie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]