Macierz ortogonalna

Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n},$

gdzie $I_{n}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A.$

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych.

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Niech $A\in M_{n}(\mathbb {R} ).$ Następujące warunki są równoważne:

1. $A$ jest macierzą ortogonalną
2. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą bazę ortonormalną
3. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą bazę ortonormalną
4. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą układ ortonormalny
5. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą układ ortonormalny
6. $A^{T}A=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
7. $AA^{T}=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
8. dla każdej bazy ortonormalnej $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ układ $\{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$
9. macierz A jest odwracalna i $A^{-1}=A^{T},$ gdzie $A^{-1}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy $A,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
10. $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik},$ gdzie $\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
11. $\sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik},$ gdzie $\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
12. $\forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y$
13. $\forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|$

Własności macierzy ortogonalnych

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1.
• Jeśli $A,B$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn $AB$ też jest macierzą ortogonalną.
• Macierz odwrotna do macierzy $A$ jest jej macierzą transponowaną, tj. $A^{-1}=A^{T}.$ Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Grupa ortogonalna stopnia n

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym, grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem $O(n)$ lub $O(n,\mathbb {R} )$. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej $GL_{n}(\mathbb {R} )$.

Specjalna grupa ortogonalna

Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$ (lub grupa unimodularna ${\mathcal {SL}}(n,\mathbb {R} )$) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej $O(n)$.

Przykłady

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną, np. ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&0{,}96\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}$

• $\left[\!\!{\begin{array}{c}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\end{array}}\!\!\right]$

Zobacz też

• macierz odwrotna
• macierz unitarna

Inne:

• macierz obrotu
• grupa obrotów

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
• J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
• A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
• A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7.
• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.

Linki zewnętrzne

• ToddT. Rowland ToddT., Orthogonal group, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).