Macierz ortogonalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Macierz ortogonalna to macierz kwadratowa A \in M_n(\mathbb{K}) spełniająca równość:

A^T\cdot A=A\cdot A^T=I_n,

gdzie:

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana. Macierz ortogonalna to macierz unitarna o wyrazach rzeczywistych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech A\, będzie macierzą ortogonalną ustalonego wymiaru. Wówczas:

  • A^T = A^{-1}\,.
  • \det A \in \{1, -1\}. O macierzach ortogonalnych o dodatnim wyznaczniku mówimy, że zachowują orientację.
    • Dowód:
Wiemy, że  AA^T = I. \,
Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego:
\det(AA^T) = \det A \cdot \det(A^T)\,
\det A \cdot \det(A^T) = \det I = 1\,
\det(A^T) = \det A \Rightarrow (\det(A))^2 = 1
  • iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Dowód:
 (AB)\cdot(AB)^T = A\cdot B\cdot B^T\cdot A^T = A\cdot A^T = I

Ponadto macierzami ortogonalnymi są odwrotność macierzy ortogonalnej i macierz jednostkowa. A zatem macierze ortogonalne stopnia n\, tworzą grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest nazywana grupą ortogonalną stopnia n\, nad ciałem  \mathbb{K} i jest oznaczana przez

O(n,\mathbb{K}) := \{A \in M_n( \mathbb{K} ) : A \cdot A^T = I\}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  •  
\begin{bmatrix}
0.96 & -0.28\\
0.28 & 0.96\\
\end{bmatrix}
  •  
\begin{bmatrix}
\cos x & \sin x\\
-\sin x & \cos x\\
\end{bmatrix}
  •  
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody Numeryczne. Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1995, ISBN 83-204-1875-5