Macierz trójkątna

Macierz trójkątna – macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.

Dolna macierz trójkątna albo macierz dolnotrójkątna ma budowę następującą

$\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&0&0&0&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&0&0&0\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}$

czyli jest to macierz dla której spełniony jest warunek: $l_{i,j}=0$ dla $i<j.$

Górna macierz trójkątna albo macierz górnotrójkątna to macierz postaci:

$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\0&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{n,n}\end{bmatrix}},$

czyli jest to macierz, dla której spełniony jest warunek: $u_{i,j}=0$ dla $i>j.$

Obliczenie wyznacznika oraz permanentu takiej macierzy sprowadza się do wymnożenia elementów leżących na głównej przekątnej:

$\det \left(A\right)=\operatorname {perm} \left(A\right)=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot \ldots \cdot a_{n,n}.$

Zbiór macierzy górnotrójkątnych (odpowiednio: dolnotrójkątnych) jest podalgebrą macierzy kwadratowych, bowiem suma i iloczyn macierzy górnotrójkątnych (odpowiednio: dolnotrójkątnych) jest macierzą górnotrójkątną (odpowiednio: dolnotrójkątną).

Zobacz też

• metoda "lower-upper"