Macierz trójkątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz trójkątna to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.

Dolna macierz trójkątna albo macierz dolnotrójkątna[1] ma budowę następującą:

 \mathbf{L}=
\begin{bmatrix}
l_{1,1} & 0       & 0      & 0         & 0  \\
l_{2,1} & l_{2,2} & 0      & 0         & 0  \\
l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & 0         & 0  \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots    & 0  \\
l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n}
\end{bmatrix}

czyli jest to macierz dla której spełniony jest warunek: l_{i,j}=0 dla i<j.

Górna macierz trójkątna albo macierz górnotrójkątna[1] to macierz postaci:

 \mathbf{U}=
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}  \\
  0     & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}  \\
  0     & 0       & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
  0     & 0       & 0       & \ddots & u_{n-1,n}\\
  0     & 0       & 0       & 0      & u_{n,n}
\end{bmatrix}
,

czyli jest to macierz dla której spełniony jest warunek: u_{i,j}=0 dla i>j.

Obliczenie wyznacznika takiej macierzy sprowadza się do wymnożenia elementów leżących na głównej przekątnej:

\det(L) = \prod_{i=1}^n l_{i,i} = l_{1,1} \cdot l_{2,2} \cdot ... \cdot l_{n,n},

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Taką nazwę stosuje Tadeusz Koźniewski w Wykładach z algebry liniowej.