Macierz diagonalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz diagonalnamacierz, zwykle kwadratowa[1], której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Macierz kwadratową \mathbf{A} = (a_{ij}) stopnia n nazywa się diagonalną, jeżeli

a_{ij} = 0 \mbox{ dla } i \ne j, \mbox{ gdzie } i, j = 1, 2, \dots, n.

Często oznacza się ją symbolem \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n), gdzie d_i = a_{ii}\, są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz

\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4).

Macierzami diagonalnymi są również:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Macierze diagonalne stopnia n tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n. Oznacza to m.in., że suma i iloczyn (Cauchy'ego) macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Stąd dla macierzy

\mathbf{A} = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)

oraz

\mathbf{B} = \mathrm{diag}(b_1, b_2, \ldots, b_n)

zachodzą działania

\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathrm{diag}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n) ,
\mathbf{AB} = \mathrm{diag}(a_1 b_1, a_2 b_2, \dots, a_n b_n).

Zatem potęgowanie macierzy diagonalnej o wykładniku naturalnym k sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:

\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^k = \mathrm{diag}(d_1^k, d_2^k, \dots, d_n^k).

Wyznacznik (o ile jest zdefiniowany) macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej, jeżeli jest on elementem odwracalnym (dla liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych, lub ogólniej, ciał: niezerowy), to macierz diagonalna jest nieosobliwa. Macierz dołączona do macierzy diagonalnej również jest diagonalna.

Macierz diagonalna jest odwracalna, jeżeli każdy jej element jest odwracalny (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:

\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \mathrm{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}).

Każda macierz diagonalna jest symetryczna, jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również normalna. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. W niektórych źródłach pojęcie macierzy diagonalnej wprowadza się wśród macierzy prostokątnych. Np. B.Gleichgewicht "Algebra" Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2002, str. 120

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]